Для изготовления изделий А и Б используются три вида сырья. На производство одного изделия А требуется: сырья первого вида – 8 кг, второго – 5 кг и третьего – 4 кг. На производство одного изделия Б требуется затратить: сырья первого вида – 6 кг, второго – 7 кг и третьего – 3 кг. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 182 кг, второго вида – 140 кг, третьего вида – 154 кг. Стоимость одного изделия А равна 10 у.е., изделия Б – 12 у.е. Составить оптимальный план выпуска продукции.
Ответ
необходимо произвести 16913 единиц продукции А и 8113 единиц продукции Б. Тогда стоимость продукции будет максимальна и равна 2631113 у.е.
Решение
Для наглядности составим таблицу:
Вид сырья Нормы затрат сырья (кг) на одно изделие Общее количество сырья (кг)
А Б
I 8 6 182
II 5 7 140
III 4 3 154
Цена одного изделия (у.е.) 10 12
Изделия А и Б могут производиться в любых количествах (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида. Поэтому составим план производства так, чтобы общая стоимость всей произведенной предприятием продукции была максимальной.
Составим математическую модель задачи. Искомый объем выпуска изделий А обозначим через x1, изделий Б – через x2. Поскольку имеются ограничения на выделенный предприятию фонд сырья каждого вида, переменные x1, x2 должны удовлетворять следующей системе неравенств:
8x1+6x2≤1825x1+7x2≤1404x1+3x2≤154
Общая стоимость произведенной предприятием продукции при условии выпуска x1 изделий А, x2 изделий Б:
Fx=10x1+12x2.
Нам необходимо максимизировать эту стоимость, максимизировать целевую функцию:
Fx=10x1+12x2→max.
По своему экономическому содержанию переменные x1,x2 могут принимать лишь неотрицательные значения:
x1,x2≥0.
Получили следующую математическую задачу:
Fx=10x1+12x2→max
при условиях
8x1+6x2≤1825x1+7x2≤1404x1+3x2≤154x1,x2≥0
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
-Fx=-10x1-12x2→min8x1+6x2+x3≤1825x1+7x2+x4≤1404x1+3x2+x5≤154x1,x2≥0
Тогда матрица коэффициентов этой системы уравнений имеет вид:
A=861005701043001.
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3,x4,x5.Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:X0 = 0, 0, 182, 140, 154.
Найденные значения переменных соответствуют такому "плану", при котором ничего не производится (x1=x2=0), сырье не используется (x3=182, x4=140,x5=154) и значение целевой функции F(x) равно нулю (т.е
. стоимость произведенной продукции отсутствует).
Базис B x1
x2
x3
x4
x5
x3
182 8 6 1 0 0
x4
140 5 7 0 1 0
x5
154 4 3 0 0 1
F(X0)
0 -10 -12 0 0 0
Наша задача - проверить, является ли данный опорный план оптимальным. для этого необходимо просмотреть индексную строку - строку целевой функции F.
Возможны различные ситуации.
1. В индексной F-строке нет отрицательных элементов. Значит, план оптимален, можно выписать решение задачи.
2. В индексной строке есть хотя бы один отрицательный элемент, в столбце которого нет положительных. Тогда делаем вывод о том, что целевая функция F→∞ неограниченно убывает.
3. В индексной строке есть отрицательный элемент, в столбце которого есть хотя бы один положительный. Тогда пересчитываем таблицу, улучшая опорный план.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты (3 вариант).
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения по строкам как частное от деления:biai2 и из них выберем наименьшее.
i=1:1826=913
i=2:1407=20
i=3:1543min913,20,1543=20.
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.Разрешающий элемент равен 7 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис B x1
x2
x3
x4
x5
x3
182 8 6 1 0 0
x4
140 5 7 0 1 0
x5
154 4 3 0 0 1
F(X1)
0 -10 -12 0 0 0
Формируем следующую часть симплексной таблицы
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
