Для электрической цепи схема которой приведена на рис 1

1. Составление на основании законов Кирхгофа уравнений, необходимых для определения всех токов.
Задаем стрелками положительные направления токов в ветвях схемы (рис. 2).
Рис. 2. Схема для расчета цепи по законам Кирхгофа
В рассматриваемой схеме четыре узла (у=4) и шесть ветвей с неизвестными токами (b=6).
По первому закону Кирхгофа следует составить три (у-1=3) независимых уравнения:
узел a:I1+I3-I5-J1=0
узел b: -I1-I2+I4+J1=0
узел c: -I4+I5+I6=0
По второму закону Кирхгофа следует составить три [b-(y-1)=3] независимых уравнения для трех независимых замкнутых контуров I, II, III. Выбрав направление обхода во всех контурах по ходу часовой стрелки, получим:
контур I: -R1I1-R4I4-R5I5=E4-E5
контур II: R2I2+R4I4+R6I6=E2+E4
контур III: R3I3+R5I5-R6I6=E5
Объединяем уравнения, записанные по первому и второму законам Кирхгофа в систему:
I1+I3-I5-J1=0-I1-I2+I4+J1=0-I4+I5+I6=0-R1I1-R4I4-R5I5=E4-E5R2I2+R4I4+R6I6=E2+E4R3I3+R5I5-R6I6=E5
Найдены не все токи в заданной схеме.
Токи протекают там, где есть разность потенциалов, т.е. в тех ветвях, где есть сопротивления, ЭДС. Также ток протекает в ветви с источником тока (равный току источника, т.е. J1). Соответственно, для определения шести неизвестных токов была составлена система из шести уравнений.
2. Определение токов всех ветвей методом контурных токов.
Задаем положительные направления контурных токов (I11,I22 ,I33) в трех [b-(y-1)=3] независимых контурах (рис. 3). Также в данной схеме присутствует контурный ток I44, значение которого известно (I44=J1=4 А).
Рис. 3. Схема для расчета цепи методом контурных токов
Составляем систему уравнений по методу контурных токов:
R1+R4+R5I11-R4I22-R5I33-R1I44=-E4-E5-R4I11+R2+R4+R6I22-R6I33=E2+E4-R5I11-R6I22+R3+R5+R6I33=E5
Уравнения записаны неверно.
Изначально была записана система уравнений для преобразованной схемы (т.е. после замены источника тока на эквивалентный источник напряжения). После перезаписи уравнений для непреобразованной схемы не был убран источник ЭДС E1. Исправлено.
Подставим в систему значения ЭДС и сопротивлений:
3+2+5I11-2I22-5I33-3∙4=-34-4-2I11+1+2+3I22-3I33=16+34-5I11-3I22+2+5+3I33=4
10I11-2I22-5I33=-26-2I11+6I22-3I33=50-5I11-3I22+10I33=4
Записываем систему в матричной форме:
10-2-5-26-3-5-310∙I11I22I33=-26504
∆=10-2-5-26-3-5-310=10∙6∙10-2∙-3∙-5-5∙-2∙-3+5∙6∙-5-10∙-3∙-3+2∙-2∙10=260
∆1=-26-2-5506-34-310=-26∙6∙10+50∙-3∙-5+4∙-2∙-3-4∙6∙-5+26∙-3∙-3-50∙-2∙10=568
∆2=10-26-5-250-3-5410=10∙50∙10-2∙4∙-5-5∙-26∙-3+5∙50∙-5-10∙4∙-3+2∙-26∙10=3000
∆3=10-2-26-2650-5-34=10∙6∙4-2∙-3∙-26-5∙-2∙50+5∙6∙-26-10∙-3∙50+2∙-2∙4=1288
I11=∆1∆=568260=2,185 А
I22=∆2∆=3000260=11,538 А
I33=∆3∆=1288260=4,954 А
Выразим токи в ветвях через контурные токи:
I1=-I11+J1=-2,185+4=1,815 А
I2=I22=11,538 А
I3=I33=4,954 А
I4=-I11+I22=-2,185+11,538=9,354 А
I5=-I11+I33=-2,185+4,954=2,769 А
I6=I22-I33=11,538-4,954=6,585 А
Уравнения по методу контурных токов записаны неверно, поэтому расчеты сомнительны
После перезаписи уравнений для непреобразованной схемы не был убран источник ЭДС E1 . Исправлено. Расчеты токов верны
3. Составление и проверка баланса мощностей.
Даже и не буду проверять, т.к. токи найдены по неверным формулам
Найденные значения токов верны. В конце работы приведены листинг моделирования цепи в Multisim с показаниями амперметров, и расчета в ПО Mathcad, подтверждающие правильность выполненных расчетов.
Напряжение на зажимах источника тока:
UJ1=R1I1=3∙1,815=5,446 В
Записываем уравнение баланса мощностей для исходной схемы, и подставляем известные числовые значения:
ΣPи=ΣPп
UJ1J1+E2I2+E4I4+E5I5=I12R1+I22R2+I32R3+I42R4+I52R5+I62R6
5,446∙4+16∙11,538+34∙9,354+4∙2,769=1,8152∙3+11,5382∙1+4,9542∙2+9,3542∙2+2,7692∙5+6,5852∙3
535,508 Вт=535,508 Вт – баланс мощностей выполняется.
Высокая точность расчета обоснована применением при расчете математического пакета Mathcad, что позволило избежать погрешности в результате округления при промежуточных вычислениях.
4. Составление системы уравнений узловых потенциалов.
Выбираем узел d в качестве опорного, приняв его потенциал равным нулю (φd=0, рис. 4).
Рис. 4. Схема для расчета цепи методом узловых потенциалов
Составляем систему уравнений по методу узловых потенциалов относительно трех (у-1=3) неизвестных потенциалов узлов:
φa1R1+1R3+1R5-φb1R1-φc1R5=-J1-E51R5-φa1R1+φb1R1+1R2+1R4-φc1R4=J1-E21R2+E41R4-φa1R5-φb1R4+φc1R4+1R5+1R6=-E41R4+E51R5
Подставляем числовые значения:
φa13+12+15-φb13-φc15=-4-415-φa13+φb13+11+12-φc12=4-1611+3412-φa15-φb12+φc12+15+13=-3412+415
1,033φa-0,333φb-0,2φc=-4,8-0,333φa+1,833φb-0,5φc=5-0,2φa-0,5φb+0,5φc=-16,2
5