Для двух выборок X и Y взятых из двух генеральных совокупностей

Вычисляем для каждой выборки числовые характеристики, учитывая, что объем каждой выборки равен n=16, m=24.
Составим расчетные таблицы:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Сумма
X 8 7 4 8 9 7 8 9 6 8 4 10 12 8 12 9 129
381011557000
 
0,004 1,129 16,504 0,004 0,879 1,129 0,004 0,879 4,254 0,004 16,504 3,754 15,504 0,004 15,504 0,879 76,938
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Сумма
У 5 11 6 12 8 9 12 11 8 5 8 10 9 7 11 9 6 8 4 10 3 6 7 8 193
70485-762000
 
9,2517 8,7517 4,1684 15,668 0,0017 0,9184 15,668 8,7517 0,0017 9,2517 0,0017 3,8351 0,9184 1,0851 8,75174 0,9184 4,1684028 0,002 16,34 3,835 25,42 4,168 1,08507 0,00174 142,9583
Выборочные средние значения найдем по формуле:
хв=1n∑хi=116(8+7+…+9)=12916=8,063.
y=1m∑yi=124(5+11+…+8)=19324=8,042.
Выборочные дисперсии найдем по формуле
D(Х)=1n∑(xi-x)2, D(Y)=1m∑(yi-y)2
DХ=1168-8,0632+7-8,0632+…+9-8,0632=76,93816=4,8086;
DY=124((5-8,042)2+11-8,0422+…+8-8,0422)=142,958324=5,957.
Теперь проверим гипотезу о равенстве средних двух совокупностей.
а) Нулевая гипотеза: H0:МХ=М(У) .
Альтернативная гипотеза: а) H1:МХ>МУ
Уровень значимости .
Для проверки этой гипотезы используется Z-тест. Для этого рассчитывается z-критерий (z-статистика), который определяется следующим образом:
Ζнабл.=х-уD(X)n+D(Y)m=8,063-8,0424,808616+5,95724=0,028,
Z-критерий распределён нормально с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
При конкурирующей гипотезе H1:МХ>МУ находим критическую точку zкр. по таблице функции Лапласа из равенства:
Фzкр.=1-2α2=1-2∙0,052=0,45, zкр.=1,65
Поскольку Ζнабл.=0,028<zкр.=1,65, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H0:МХ=М(У).
б) Нулевая гипотеза: H0:МХ=М(У).
Альтернативная гипотеза: а) H1:МХ<МУ.
Уровень значимости .
Для проверки этой гипотезы используется Z-тест