Для десяти предприятий , выпускающих однотипную продукцию, решено проверить зависимость между объемами недельных продаж ( У, млн. руб.) и затратами на рекламу (Х, млн. руб.) , разработать эконометрическую модель для последующих нормативных расчетов (см. табл. 1)
Таблица №1 Исходная информация для расчетов.
Показатели Порядковые номера предприятий
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Х 5 8 5 5 3 9 12 4 3 10
УХ 73 77 79 71 60 81 83 66 63 91
Допуская, что между переменными У и Х имеет место линейная зависимость:
1. Определить оценки неизвестных параметров уравнения парной линейной регрессии.
2. Рассчитать коэффициенты эластичности и дать экономическую интерпретацию коэффициентам регрессии и эластичности.
3. Определить среднюю ошибку аппроксимации, значения коэффициентов Ry,x и Ry,x2.
4. Провести оценку значимости уравнения регрессии с помощью F – критерия Фишера и надежности коэффициентов регрессии с помощью t – критерия Стъюдента.
5. Рассчитать доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.
6. Проверить остатки регрессионного уравнения εi на наличие автокорреляции, применив критерий Дарбина –Ватсона.
7. Проверить остатки регрессионного уравнения εi на наличие гетероскедастичности с помощью метода Голдфельда – Квандта.
8. Для среднего значения Х, увеличенного на 7%, определить прогнозное значение Уx и рассчитать соответствующие доверительные интервалы
Решение
1) Определим параметры уравнения парной линейной регрессии.
Оценка параметров уравнения парной линейной регрессии производится обычным методом наименьших квадратов (МНК):, где a и b –оценки параметров модели.
Величины, минимизирующие суммы квадратов отклонений от для случая парной линейной регрессии, находятся как:
; .
Расчет необходимых данных лучше всего организовать в таблице. Для нашего примера таблица будет выглядеть следующим образом:
N/N х у
1 5 73 -1,4000 -1,4000 1,9600 1,9600 70,6403 -2,3597
2 8 77 1,6000 2,6000 4,1600 2,5600 78,6968 1,6968
3 5 79 -1,4000 4,6000 -6,4400 1,9600 70,6403 -8,3597
4 5 71 -1,4000 -3,4000 4,7600 1,9600 70,6403 -0,3597
5 3 60 -3,4000 -14,4000 48,9600 11,5600 65,2692 5,2692
6 9 81 2,6000 6,6000 17,1600 6,7600 81,3824 0,3824
7 12 83 5,6000 8,6000 48,1600 31,3600 89,4389 6,4389
8 4 66 -2,4000 -8,4000 20,1600 5,7600 67,9548 1,9548
9 3 63 -3,4000 -11,4000 38,7600 11,5600 65,2692 2,2692
10 10 91 3,6000 16,6000 59,7600 12,9600 84,0679 -6,9321
сумма 64 744
237,40 88,40 744,0 0,00
Средн. 6,40 74,40
В соответствии с расчетами, представленными в таблице,
Соответственно уравнение регрессии может быть записано как:
2. Рассчитаем коэффициенты эластичности и дадим экономическую интерпретацию коэффициентам регрессии и эластичности.
Полученные коэффициенты уравнения регрессии могут быть объяснены следующим образом: с увеличением расходов на рекламу на 1 млн. руб. объем продаж увеличивается в среднем на 2,69 млн. руб.Свободный член уравнения равен 57,21, что может трактоваться как влияние на объем продаж других, неучтенных в модели факторов.
Определим значение коэффициента эластичности.
Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится на 0,23%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.
3. Определим среднюю ошибку аппроксимации, значения коэффициентов Ry,x и Ry,x2.
Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу:
N/N х
у
1 5 73 70,6403 -2,3597 5.568 1.96 0.0323
2 8 77 78,6968 1,6968 2.879 6.76 0.022
3 5 79 70,6403 -8,3597 69.885 21.16 0.106
4 5 71 70,6403 -0,3597 0.129 11.56 0.00507
5 3 60 65,2692 5,2692 27.765 207.36 0.0878
6 9 81 81,3824 0,3824 0.146 43.56 0.00472
7 12 83 89,4389 6,4389 41.46 73.96 0.0776
8 4 66 67,9548 1,9548 3.821 70.56 0.0296
9 3 63 65,2692 2,2692 5.149 129.96 0.036
10 10 91 84,0679 -6,9321 48.054 275.56 0.0762
сумма 64 744 744,0 0,00 204.857 842.4 0.477
Средн
. 6,40 74,40
5.568 1.96 0.0323
Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Его можно определить по следующей формуле:
.
Для нашей задачи r = 0,870, это означает, что связь между признаками прямая, а также указывает на сильную взаимосвязь расходами на рекламу и объемом продаж.
R2= 0,8702 = 0,757
Для нашей задачи коэффициент детерминации равен 0,757, то есть 75,?% вариации результативного признака (объем продаж) объясняется вариацией факторного признака (затраты на рекламу).
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:
,
В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 4,77%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
4. Проведем оценку значимости уравнения регрессии с помощью F – критерия Фишера и надежности коэффициентов регрессии с помощью t – критерия Стъюдента.
Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F- критерия Фишера.
Фактическое значение F-критерия качества оценивания регрессии
Для нашего примера , а = 5,32. Так как построенная модель регрессии в целом значима и может в дальнейшем использоваться нами для прогнозов.
Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента.
Оценка значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки
;
Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .
Определим случайные ошибки , :
Остаточная дисперсия на одну степень свободы
ma - стандартное отклонение случайной величины a:
mb - стандартное отклонение случайной величины b.
Тогда
Поскольку 15,06 > 2,306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Поскольку 4,99 > 2,306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
5
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
