Для заданной эрмитово-симметричной матрицы найти такую унитарную матрицу U и диагональную вещественную матрицу Λ. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Для заданной эрмитово-симметричной матрицы найти такую унитарную матрицу U и диагональную вещественную матрицу Λ

Для заданной эрмитово-симметричной матрицы найти такую унитарную матрицу U и диагональную вещественную матрицу Λ .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Для заданной эрмитово-симметричной матрицы найти такую унитарную матрицу U и диагональную вещественную матрицу Λ, чтобы Λ=UTAU A=3-i0i30004

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Составим характеристическое уравнение:
A-λE=0
3-λ-i0i3-λ0004-λ=0
4-λ∙(3-λ)2+i2=0
4-λ∙8-6λ+λ2=0
λ1=4 λ2-6λ+8=0
D=36-32=4 λ2=6+22=4 λ3=6-22=2
Найдем собственные векторы, отвечающие собственным значениям как решение системы уравнений:
A-λEX=0
λ1,2=4
-1-i0i-10000X=0
-1-i0i-10000~-1-i0i-10~Умножим первую строку на i и сложим со второй~
-1-i0000~-1-i0
Ранг матрицы равен 1, значит, пространство решений состоит из двух векторов
-x1-ix2=0 x1=-ix2
Пусть x2=α1, x3=0 => x1=-α1i
f1=α1∙-i;1;0
Пусть x1=0, x3=α2 => x2=0
f2=α2∙0;0;1
λ3=2
1-i0i10002X=0
1-i0i10002~Умножим первую строку на -iи сложим со второй~
1-i0000002~1-i0002
Ранг матрицы равен 2, значит, пространство решений состоит из одного вектора
x1-ix2=02x3=0 x1=ix2x3=0
Пусть x2=α3 => x1=α3i x3=0
f3=α3∙i;1;0
Составим из координат векторов fi матрицу U
U=-i0i101010 => U=i0-i101010 UT=i10001-i10
UTA=i10001-i103-i0i30004=3i+i1+30004-3i+i-1+30=4i40004-2i20
Λ=UTAU=4i40004-2i20-i0i101010=4+40-4+4040-2+202+2=800040004

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу