Для выборки x1 … xn найдите следующие статистики

Записав данные в порядке возрастания, получим вариационный ряд
3 4 5 6 6 6 6 7 7 7
7 7 8 8 8 8 8 9 9 9
10 10 10 10 10 10 10 10 11 11
11 12 12 12 12 13 13 13 13 14
14 14 14 14 15 15 15 16 16 18
Сгруппируем данные
xi
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18
mi
1 1 1 4 5 5 3 8 3 4 4 5 3 2 1
mi – частота.
n=i=115mi=1+1+1+4+5+5+3+8+3+4+4+5+3+2+1=50 – объем выборки.
среднее
Среднее
x=1ni=115ximi=1503∙1+4∙1+5∙1+6∙4+7∙5+8∙5+9∙3+10∙8+11∙3+12∙4+13∙4+14∙5+15∙3+16∙2+18∙1=51650=10,32
медиану
Так как число наблюдений четное n=50=2p=2∙25, то медиана это среднее арифметическое двух центральных наблюдений
Me=xMe=xp+xp+12=x25+x262=10+102=10
моду
Мода – наиболее часто встречаемое значение признака
Mo=10
нижний 0,1-квантиль, верхний 0,1-квантиль, квантили Q1, Q2, Q3, интерквартильный размах
Нижний 0,1-квантиль – точка, ниже которой лежит 10% наблюдений
q0,1=xn∙0.1+1=x50∙0.1+1=x6=6
Верхний 0,1-квантиль – точка, выше которой лежит 10% наблюдений
q0,1=x45=15
25% квантиль - первый (нижний) квартиль
Q1=Q0,25=x14n+1=x1450+1=x12,75=x12+x132=7+82=7,5
50% квантиль
Q2=x12n+1=x1250+1=x25.5=x25+x262=10+102=10=Me
75% квантиль
Q3=Q0,75=x34n+1=x3450+1=x38.25=x38+x392=13+132=13
Интерквартильный размах – различия между первым и третьим квартилем
IQR=Q3-Q1=13-7,5=5,5
дисперсию не исправленную (смещенную)
Для нахождения дисперсии, предварительно по сгруппированным данным найдем
x2=1ni=115xi2mi=15032∙1+42∙1+52∙1+62∙4+72∙5+82∙5+92∙3+102∙8+112∙3+122∙4+132∙4+142∙5+152∙3+162∙2+182∙1=1509+16+25+144+245+320+243+800+363+576+676+980+675+512+324=590850=118,16
Дисперсия не исправленная (смещенная)
S2=x2-x2=118,16-10,322=11,6576
дисперсию исправленную (не смещенную)
Дисперсия исправленная (не смещенная)
S2=nn-1S2=5049∙11,6576≈11,8955
стандартное отклонение
Стандартное отклонение (не исправленное)
S=S2=11,6576≈3,4143
стандартную ошибку среднего
Стандартная ошибка среднего
sx=Sn=3,414350≈0,4829
коэффициент вариации
Коэффициент вариации
VS=Sx∙100%=3,414310,32∙100%≈33,08%
асимметрию
По сгруппированным данным найдем центральный момент 3-его порядка
μ3=1ni=115xi-x3mi=1503-10,323∙1+4-10,323∙1+5-10,323∙1+6-10,323∙4+7-10,323∙5+8-10,323∙5+9-10,323∙3+10-10,323∙8+11-10,323∙3+12-10,323∙4+13-10,323∙4+14-10,323∙5+15-10,323∙3+16-10,323∙2+18-10,323∙1≈150-392,2232-252,436-150,5688-322,4863-182,9718-62,4358-6,8999-0,2621+0,9433+18,9665+76,9953+249,1802+307,5097+366,5009+452,9848=102,796850≈2,0559
Коэффициент асимметрии – характеризует степень асимметричности, скошенности распределения данных
Ac=μ3S3=2,05593,41433≈0,0516
Ac>0 – правосторонняя асимметрия (на графике более пологий спуск справа)