Для производства трех видов продукции A, B, C используется три вида сырья I, II, III. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции каждого вида, а также прибыль с единицы продукции приведены в таблице. Определить план выпуска продукции для получения максимальной прибыли при условии, что сырье III должно быть полностью израсходовано.
1. Построить математическую модель задачи.
2. Привести задачу к стандартной форме.
3. Решить полученную задачу графическим методом.
4. Привести задачу к канонической форме.
5. Решить полученную задачу симплекс-методом.
6. Провести анализ модели на чувствительность.
7. Проанализировать результаты решения.
Сырьё Продукция Запас сырья
A B C
I 4 12 1 64
II 6 8 1 64
III 2 4 1 24
Прибыль 2 5 1
Ответ
Прибыль составит 29 денежных единиц.
Необходимо выпустить продукции вида: А – 0 ед.; B – 5 ед.; C – 4 ед.
Остаток сырья II составил 20 единиц.
Решение
Требуется составить производственную программу, максимизурующую прибыль:
F=2x1+5x2+x3⟶max,
где x1,2,3 - выпуск продукции вида А,В,С соответственно.
При условии (ограничениях по сырью с учётом полного расходования сырья третьего вида):
4x1+12x2+x3≤646x1+8x2+x3≤642x1+4x2+x3=24
при x1>0, x2>0,x3>0.
2. Выражаем из третьего уравнения x3:
x3=24-2x1-4x2≥0
Подставим в целевую функцию и первые два ограничения:
F=2x1+5x2+24-2x1-4x2=x2+24⟶max
4x1+12x2+24-2x1-4x2≤646x1+8x2+24-2x1-4x2≤64x1>0, x2>0
Получаем задачу в стандартной форме:
F=x2+24⟶max
x1+4x2≤20x1+x2≤10x1+2x2≤12x1>0, x2>0
3. Выразим все уравнения системы через переменную х2 и построим график в системе координат х1Ох2. При этом вектор градиент прибыли z будет равен (0; 1) для всех х1 и х2.
Искомое решение находится ниже или точно на прямых, определённых знаком равенства. Изобразим на плоскости область допустимых значений, которая находится в первой четверти. Данная область ограничена сверху прямыми А и В.
Вектор градиент в каждой точке плоскости перпендикулярен линиям уровня функции Fx=const. Таким образом, необходимо отложить вектор градиент функции от некоторой точки плоскости (например, от начала координат) и далее вести перпендикуляр от крайней точки области допустимых решений в направлении вектора градиента
. Точка пересечения области допустимых решений и прямой, соответствующей максимально возможному значению целевой функции, и будет точкой максимума целевой функции.
Таким образом, искомое решение – угловая точка множества допустимых решений – точка M(0;5)
x1=0, x2=5
Продукции третьего вида надо произвести:
x3=24-2x1-4x2=24-20=4
При этом прибыль составит:
Fmax=2x1+5x2+x3=29 ден.ед.
4. Приводим к каноническому виду, вводим дополнительные переменные:
F=x2+24⟶max
2x1+8x2+x3=404x1+4x2+x4=402x1+4x2+x5=24x1>0, x2>0,x3>0,x4>0,x5>0,
Переменные x3,x4,x5 будем считать базисными, они входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
5. Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:X0 = (0,0,20,10,12). Данное базисное решение положительно, т.е. допустимое.
Составим симплекс таблицу:
Базис Решение x1 x2 x3 x4 x5 Отношение
(min)
x3 40 2 8 1 0 0 5
x4 40 4 4 0 1 0 10
x5 24 2 4 0 0 1 6
F(X) 24 0 -1 0 0 0
Ведущий столбец по переменной x2, ведущая строка соответствует минимальному отношению элемента столбца «Решение» к элементу ведущего столбца, ведущей будет первая строка, тогда вместо переменной x3 при следующем пересчёте таблицы в базис войдёт переменная x2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
