Для непрерывной случайной величины (н с в

Плотность распределения fx должна удовлетворять условию нормировки
-∞∞fxdx=1
Для заданной функции
-∞∞fxdx=-∞0C1∙exdx+0+∞C1∙e-xdx=C1∙ex-∞0-e-x0+∞=C1∙1+1=2C1=1
2C1=1⟹C1=12
Плотность функции распределения имеет вид
fx=12∙ e-x
Проверка условия нормировки
-∞∞fxdx=-∞012∙exdx+0+∞12∙e-xdx=12∙ex-∞0-e-x0+∞=12∙1+1=22=1
Для нахождения функции распределения Fx используем формулу
Fx=-∞xftdt
Если -∞<x≤0, то
Fx=-∞x 12∙ etdt=12∙et-∞x= 12∙ ex
Если 0<x<+∞, то
Fx=-∞0 12∙ etdt+0x12∙e-tdt=12∙et-∞0-e-t0x=121-e-x+1=122-e-x=1-12e-x
Функция распределения имеет вид
Fx=12∙ ex, при-∞<x≤01-12e-x, при 0<x<+∞
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=12-∞0x∙exdx+120∞x∙e-xdx=u=xdv=exdxdu=dxv=exиu=xdv=e-xdxdu=dxv=-e-x=12xex-∞0--∞0exdx-xe-x0+∞+0∞e-xdx=12-ex-∞0-e-x0+∞=12-1+1=0
Для нахождения дисперсии предварительно найдем
MX2=-∞∞x2fxdx=12-∞0x2∙exdx+120∞x2∙e-xdx=u=x2dv=exdxdu=2xdxv=exиu=x2dv=e-xdxdu=2xdxv=-e-x=12x2ex-∞0-2-∞0xexdx-x2e-x0+∞+20∞xe-xdx=--∞0xexdx+0∞xe-xdx=u=xdv=exdxdu=dxv=exиu=xdv=e-xdxdu=dxv=-e-x=-xex-∞0--∞0exdx-xe-x0+∞+0∞e-xdx=-∞0exdx+0∞e-xdx=ex-∞0-e-x0+∞=1+1=2
Дисперсия
DX=MX2-MX2=2-02=2
Найдем вероятность того, что X примет значения из интервала -2;2 используя функцию распределения
P-2<X<2=F2-F-2=1-12e-2-12∙ e-2=1-e-2≈0,8647
Найдем вероятность того, что X примет значения из интервала -2;2 используя плотность функции распределения
P-2<X<2=-2012∙exdx+0212∙e-xdx=12∙ex-20-e-x02=12∙1-e-2-e-2+1=12∙2-2e-2=1-e-2≈0,8647
Результаты вычислений вероятности совпадают.