Для данных ОДУ определить порядок тип и решить начальные задачи y'+yx2=x-x2e1x

Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением первого порядка. Для его решения сделаем следующую замену:
y=uv
Тогда первая производная будет равна:
y'=u'v+uv'
Подставляем в исходное уравнение данные замены:
u'v+uv'+uvx2=x-x2e1x
u'v+uv'+vx2=x-x2e1x
Получаем систему уравнений:
v'+vx2=0u'v=x-x2e1x
Решим первое уравнение системы:
v'+vx2=0
v'=-vx2
dvv=-dxx2
lnv=1x
v=e1x
Подставим полученное решение во второе уравнение системы и найдём его решение:
u'e1x=x-x2e1x
u'=x-x2
du=x-x2dx
u=x22-x33+C
Теперь сделаем обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения:
y=uv=e1x*x22-x33+C=x2e1x2-x3e1x3+Ce1x
Теперь найдём искомое частное решение, воспользовавшись начальным условием:
y1=12e-13e+Ce=e
Ce=e-12e+13e
Ce=66e-36e+26e=56e
C=56ee=56
Тогда искомое частное решение выглядит так:
y=x2e1x2-x3e1x3+56e1x=16e1x3x2-2x3+5