Дискретная случайная величина. Закон распределения случайной величины X

Законы распределения одномерных (маргинальных) распределений случайной величины X и Y
Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2. Вероятности, с которыми X принимает эти значения, определим, суммируя соответствующие столбцы исходной таблицы
pi=PX=xi=j=12pij, i=1, 2, 3
p1=PX=0=112+18=2+324=524
p2=PX=1=18+14=1+28=38
p3=PX=2=38+124=9+124=1024=512
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X
0 1 2
pi
524
38
512
Контроль: pi=524+38+512=5+9+1024=2424=1.
Аналогично, суммируя строки исходной таблицы составим закон распределения Y
qj=PY=yj=i=13pij, j=1, 2
q1=PY=-2=112+18+38=2+3+924=1424=712
q2=PY=0=18+14+124=3+6+124=1024=512
Закон распределения случайной величины Y имеет вид
Y
-2 0
qj
712
512
Контроль: qj=712+512=1212=1.
условный закон распределения случайной величины Y при условии X=2 и условные математическое ожидание MYX=2 и дисперсию DYX=2
Случайная величина Y принимает значения -2, 0 . Вычислим вероятности PY=yjX=2.
PY=yjX=xi=PX=xi,Y=yj PX=xi=pijpi
PY=-2X=2=PX=2,Y=-2 PX=2=38512=38∙125=910=0,9
PY=0X=2=PX=2,Y=0PX=2=124512=124∙125=110=0,1
Условный закон распределения случайной величины Y при условии X=2 имеет вид
Y
-2 0
PY=yjX=2
0,9 0,1
Условное математическое ожидание
MYX=2=yj∙PY=yjX=2=-2∙0,9+0∙0,1=-1,8
Условная дисперсия
DYX=2=MY2X=2-MYX=22=yj2∙PY=yjX=2-MYX=22=-22∙0,9+02∙0,1--1,82=0,36
вероятности PX>Y, PY>X, PX<2;Y<0
PX>Y=PX>Y, Y=-2+PX>Y, Y=0=112+18+38+14+124=2+3+924+6+124=1424+724=2124=78=0,875
PY>X=PY>X, Y=-2+PY>X,Y=0 =0+0=0
PX<2;Y<0=PX=0, Y=-2+PX=1, Y=-2=112+18=2+324=524≈0,2083
ковариацию и корреляцию X и Y
Математические ожидания
MX=xipi=0∙524+1∙38+2∙512=38+56=9+2024=2924
MY=yjqj=-2∙712+0∙512=-76
Ковариация
CovX,Y=xiyjpij-MX∙MY=0∙-2∙112+0∙0∙18+1∙-2∙18+1∙0∙14+2∙-2∙38+2∙0∙124-2924∙-76=-14-32+203144=-36-216+203144=-49144≈-0,3403
Дисперсии
DX=MX2-MX2=xi2pi-MX2=02∙524+12∙38+22∙512-29242=38+53-841576=216+960-841576=335576
DY=MY2-MY2=yj2qj-MY2=-22∙712+02∙512--762=73-4936=3536
Корреляция
ρXY=CovX,YDX∙DY=-49144335576∙3536=-49144∙2073611725≈-0,4525
Коррелированы или некоррелированы случайные величины X и Y? Зависимы или независимы случайные величины X и Y?
Так как ρXY≠0 – случайные величины X и Y коррелированы.
Проверим условие независимости для дискретных случайных величин
pij=pi∙qj ∀i,j
p11=112≠p1∙q1=524∙712=35288