Дискретная случайная величина X – число выпадений «двойной шестерки» в предыдущей задаче. Найти: 1) ряд распределения случайной величины X; 2) функцию распределения Fx и ее график; 3) математическое ожидание MX; 4) дисперсию DX и СКВО; 5) моду; 6) вероятность P-1≤X≤1.
Решение
Ряд распределения случайной величины X
Случайная величина X – число выпадений «двойной шестерки» – имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли
Pnk=Cnkpkqn-k
n=4 – число испытаний (число бросков).
p=16∙16=136 – вероятность выпадения «двойной шестерки» при одном броске.
q=1-p=1-136=3536 – вероятность не выпадения «двойной шестерки» при одном броске.
PX=0=P40=C40∙1360∙35364=4!0!4!∙15006251679616=15006251679616≈0,893433
PX=1=P41=C41∙1361∙353634!1!3!∙136∙4287546656=19∙4287546656=42875419904≈0,102107
PX=2=P42=C42∙1362∙35362=4!2!2!∙12251679616=1225279936≈0,004376
PX=3=P43=C43∙1363∙35361=4!3!1!∙351679616=35419904≈0,000083
PX=4=P44=C44∙1364∙35360=11679616≈0,000001
Ряд распределения случайной величины X имеет вид
xi
0 1 2 3 4
pi
15006251679616
42875419904
1225279936
35419904
11679616
функцию распределения Fx и ее график
Найдем функцию распределения
Fx=PX<x
Если x≤0, то Fx=X<0=0.
Если 0<x≤1 то, Fx=X<1=15006251679616≈0,893433.
Если 1<x≤2 то, Fx=X<2=15006251679616+42875419904=1500625+1715001679616=16721251679616=557375559872≈0,99554.
Если 2<x≤3 то, Fx=X<3=15006251679616+42875419904+1225279936=1500625+171500+73501679616=16794751679616=559825559872≈0,999916.
Если 3<x≤4 то, Fx=X<4=15006251679616+42875419904+1225279936+35419904=1500625+171500+7350+1401679616=16796151679616≈0,999999.
Если x>4 то, Fx=15006251679616+42875419904+1225279936+35419904+11679616=1500625+171500+7350+140+11679616=16796161679616=1.
Функция распределения имеет вид
Fx=0, если x≤00,893433, если 0<x≤10,99554, если 1<x≤20,999916, если 2<x≤30,999999, если 3<x≤41, если x>4
математическое ожидание MX
Математическое ожидание
MX=xipi=0∙15006251679616+1∙42875419904+2∙1225279936+3∙35419904+4∙11679616=42875419904+1225139968+35139968+1419904=42875+3675+105+1419904=46656419904=19≈0,1111
Также можно определить математическое ожидание исходя из того, что случайная величина X имеет биномиальное распределение, тогда
MX=np=4∙136=19≈0,1111
дисперсию DX и СКВО
Дисперсия
DX=MX-MX2=xi2pi-MX2=02∙15006251679616+12∙42875419904+22∙1225279936+32∙35419904+42∙11679616-192=42875419904+122569984+3546656+1104976-181=42875+7350+315+4-5184419904=45360419904=35324≈0,108
Также можно определить дисперсию исходя из того, что случайная величина X имеет биномиальное распределение, тогда
DX=npq=4∙136∙3536=35324≈0,108
моду
Мода – значение X, имеющее наибольшую вероятность
Mo=0
вероятность P-1≤X≤1
Искомая вероятность
P-1≤X≤1=PX=0+PX=1=15006251679616+42875419904=1500625+1715001679616=16721251679616=557375559872≈0,99554
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
