Даны вершины треугольника ABC A(-6 1)

Найдем длины сторон треугольника по формулам:
AB=xB-xA2+yB-yA2=-3+62+-5-12=9+36=45
AC=xC-xA2+yC-yA2=0+62+-1-12=40
BC=xC-xB2+yC-yB2=0+32+-1+52=9+16=25=5
Тогда периметр треугольника:
P=AB+AC+BC=45+40+5≈6,71+6,32+5=18,03 ед.
Найдем площадь треугольника по формулам:
1 способ:
S=12∙xA-xCyA-yCxB-xCyB-yC=12∙-6-01+1-3-0-5+1=12∙-62-3-4=
=12∙24+6=15 кв.ед
2 способ:
S=12∙1xAyA1xByB1xCyC=12∙1-611-3-510-1=12∙3+30+3-6=15 кв.ед
Составим уравнения сторон по формулам:
AB:
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA => x+6-3+6=y-1-5-1 x+63=y-1-6 x+61=y-1-2
В общем виде:
-2x-12=y-1 2x+y+11=0
С угловым коэффициентом:
y=-2x-11 kAB=-2
Параметрическое:
x+61=y-1-2=t => x=t-6y=-2t+1
В отрезках:
2x+y+11=0 => 2x+y=-11
x-112+y-11=0
Точки пересечения с осями координат:
0;-11, -112;0
AC:
x-xAxC-xA=y-yAyC-yA => x+60+6=y-1-1-1 x+66=y-1-2 x+63=y-1-1
В общем виде:
-x-6=3y-3 x+3y+3=0
С угловым коэффициентом:
y=-13x-1 kAC=-13
Параметрическое:
x+63=y-1-1=t => x=3t-6y=-t+1
В отрезках:
x+3y+3=0 => x+3y=-3
x-3+y-1=0
Точки пересечения с осями координат:
0;-1, -3;0
BC:
x-xBxC-xB=y-yByC-yB => x+30+3=y+5-1+5 x+33=y+54
В общем виде:
4x+12=3y+15 4x-3y-3=0
С угловым коэффициентом:
y=43x-1 kBC=43
Параметрическое:
x+33=y+54=t => x=3t-3y=4t-5
В отрезках:
4x-3y-3=0 => 4x-3y=3
x34+y-1=0
Точки пересечения с осями координат:
0;-1, 34;0
Составим уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB . Так как искомая прямая параллельна AB, то их угловые коэффициенты совпадают, поэтому уравнение искомой прямой запишем по формуле:
y-yC=kABx-xC
y+1=-2x-0
y=-2x-1
Составим уравнение высоты CH. Так как высота CH перпендикулярна стороне AB, то их угловые коэффициенты связаны соотношением:
kAB∙kCH=-1 => kCH=-1kAB=12
Составим уравнение высоты CH по угловому коэффициенту и точке C
y-yC=kCHx-xC
y+1=12x-0
y=12x-1
Составим уравнение медианы AM. Найдем координаты точки M - середины стороны BC, по формуле деления отрезка пополам:
xM=xB+xC2=-3+02=-32
yM=yB+yC2=-5-12=-3
Составим уравнение медианы AM по двум точкам:
AM:
x-xAxM-xA=y-yAyM-yA
x+6-32+6=y-1-3-1 x+692=y-1-4 x+69=y-1-8
-8x-48=9y-9
8x+9y+39=0
y=-89x-133 kAM=-89
Найдем координаты точки N - пересечения высоты CH и медианы AM, как решение системы уравнений:
y=12x-1y=-89x-133 x=2y+2y=-169y-169-133 x=2y+2259y=-559 x=-125y=-115
Найдем координаты точки D пересечения медиан
1 способ (по формуле деления отрезка в заданном отношении)
Точка пересечения медиан, делит каждую медиану в соотношении 2:1=2=λ, считая от вершины треугольника:
xD=xA+λxM1+λ=-6+2∙-321+2=-3
yD=yA+λyM1+λ=1+2∙-31+2=-53
2 способ (как центра тяжести точек A, B, C)
xD=xA+xB+xC3=-6-3+03=-3
yD=yA+yB+yC3=1-5-13=-53
Найдем длину высоты CH
1 способ (используя нормальное уравнение прямой AB)
Длину высоты найдем по формуле расстояния от точки C до прямой AB
Уравнение прямой AB: 2x+y+11=0
CH=2xC+yC+1122+12=0-1+1122+12=105=25 ед.
2 способ:
SABC=12∙AB∙CH => CH=2SABCAB=3045=105=25 ед.
Найдем угол BAM
1 способ (через тангенс)
tg BAM=kAM-kAB1+kAB∙kAM=-89+21+-2∙-89=109259=25
BAM=arctg25≈11,31°
2 способ (через косинус)
cosBAM=AB∙AMAB∙AM
Направляющий вектор прямой AB: AB3;-6
Направляющий вектор прямой AM: AM(9;-8)
cosBAM=3∙9+-6∙-832+(-6)2∙92+(-8)2=7545∙145=529
BAM=arccos529≈21,8°
Найдем внутренние углы треугольника:
Угол A:
tg A=kAC-kAB1+kAB∙kAC=-13+21+23=1 A=arctg 1=45°
cosA=AB∙ACAB∙AC=3∙6+-6∙-245∙40=30302=12
A=arccos12=45°
sinA=2SAB∙AC=30302=12
A=arcsin12=45°
Угол B:
tg B=kAB-kBC1+kAB∙kBC=-2-431-83=-103-53=2
B=arctg 2≈63,430
cosB=BA∙BCBA∙BC=-3∙3+6∙445∙5=15155=15
B=arccos15≈63,430
sinB=2SBA∙BC=30155=25
B=arcsin25≈63,430
Угол C:
tg C=kBC-kAC1+kAC∙kBC=43--131+-13∙43=5359=3
C=arctg (3)≈71,57°
cosC=CA∙CBCA∙CB=-6∙-3+2∙-440∙5=1040∙5=110
C=arccos110≈71,57°
sinC=2SCA∙CB=3040∙5=310
C=arcsin310≈71,57°
Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с центром тяжести треугольника:
O-3;-53
R=OA=(xA-x0)2+(yA-y0)2=(-6+3)2+1+532=9+649=1453
Уравнение окружности:
(x-x0)2+(y-y0)2=R2
(x+3)2+y+532=1459