Даны вершины пирамиды A(-5 -7 5) B

Запишем координаты векторов:
AB=xB-xA;yB-yA;zB-zA=-3--5;1--7;7-5=(2;8;2)
AC=xC-xA;yC-yA;zC-zA=-2--5;7--7;9-5=(3;14;4)
AD=xD-xA;yD-yA;zD-zA=6--5;-12--7;5-5=(11;-5;0)
угол между ребрами AB и AC найдем, используя свойство скалярного произведения:
cos(AB,AC)=AB∙ACAB∙AC=2∙3+8∙14+2∙422+82+22∙32+142+42=12672∙221≈0,999
AB,AC=arccos(0,999)≈2,56°
площадь грани ABC, построенной на векторах AB, AC найдем, используя свойство векторного произведения:
SABC=12∙AB×AC
AB×AC=ijk2823144=32i+6j+28k-24k-8j-28i=4i-2j+4k
AB×AC=42+(-2)2+42=36=6 => SABC=3 кв.ед.
объем тетраэдра ABCD, построенного на векторах AB, AC, AD, найдем используя свойство смешанного произведения:
V=16∙AB×AC∙AD
AB×AC∙AD=282314411-50=352-30-308+40=54 => V=9 куб . ед
уравнение плоскости ABC составим по формуле:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0
x+5y+7z-5-3+51+77-5-2+57+79-5=0
x+5y+7z-52823144=0
Разложим определитель по первой строке:
x+532-28-y+78-6+z-528-24=0
x+532-28-y+78-6+z-528-24=0
4x+20-2y-14+4z-20=0
2x-y+2z-7=0
Вектор нормали к данной плоскости:
n=(2;-1;2)
угол между ребром AD и гранью ABC найдем по формуле:
sinγ=AD∙nAD∙n=11∙2+-5∙-1+0∙2112+(-5)2+02∙22+(-1)2+22=27146∙9=9146≈0,745
γ=arcsin(0,745)≈48,16°
Вектор нормали к плоскости ABC является направляющим высоты, опущенной из вершины D на грань ABC