Даны вершины А (1 -1) В (-5 2) С (-2 3) треугольника

A) Найдем длины стороны АВ:
АB=(xВ-xА)2+yВ-yА2=(-5-1)2+(2-(-1))2=36+9=45=35.
б) Косинус внутреннего угла А найдем как угол между векторами АB и АС по формуле:
cos⦟А=AB∙АCAB∙АC.
Найдем координаты векторовАB и АС:
АВ=xВ-xА;yВ-yА=-5-1;2-(-1)=-6;3;
AC=-2-1;3-(-1)=-3;4
АB=35,AС=5.
Вычислим скалярное произведение векторов АB и ВС:
AB∙BC=x1∙x2+y1∙y2=-6∙-3+3∙4=18+12=30.
Тогда,
cos⦟A=3035∙5=25.
⦟A=arccos25=26,570.
в) Высота СD перпендикулярна стороне АВ, а потому их угловые коэффициенты kCD и kAB удовлетворяют условию:
kCD=-1kABCоставим уравнения прямой АВ, используя уравнение прямой проходящей через две точки:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1.
АВ:x-1-5-1=y--12--1; x-1-6=y+13; x-1=-2y+1; x-1+2y+2=0;
x+2y+1=0;y=-12x-12 .
Из уравнения прямой АВ следует, что kAB=-12, тогда kCD=2 .
Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:
y-y0=kx-x0.
Подставив в уравнение координаты точки С и угловой коэффициент kCD получим искомое уравнение высоты СD:
y-3=2x-(-2)→2x-y+7=0 (CD).
г) Так как, точка СК является медианой, то точка К – середина отрезка АВ . Тогда координаты точки К найдем по формулам деления отрезка пополам:
xК=xA+xВ2=1+(-5)2=-2;
YК=yA+yВ2=-1+22=12;
К-2;12.
Cоставим уравнение медианы СК, используя уравнение прямой проходящей через точки С и К:
СК:x-(-2)-2-(-2)=y-312-3;x+20=y-3-52;x+2=0.
д) Для того, чтобы найти точку O пересечения высот треугольника, найдем уравнение высоты АS:
Высота AS перпендикулярна стороне BC, а потому их угловые коэффициенты kAS и kBC удовлетворяют условию:
kAS=-1kBCCоставим уравнения прямой BC:
BC:x-(-5)-2-(-5)=y-23-2; x+53=y-21; x+5=3y-2; x+5-3y+6=0;
x-3y+11=0;y=13x+113 .
Из уравнения прямой BC следует, что kBC=13, тогда kAS=-3 .
Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:
y-y0=kx-x0.
Подставив в уравнение координаты точки A и угловой коэффициент kAS получим искомое уравнение высоты AS:
y--1=-3x-1→3x+y-2=0 (AS).
Для того, чтобы найти точку O пересечения высот треугольника, нужно решить систему из уравнений высот:
2x-y+7=03x+y-2=0→x=-1y=5
O(-1,5).
е) длину высоты, опущенной из вершины С;
Длину высоты СD треугольника АВС, опущенную из вершины С на сторону АВ найдем как расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до прямой Ax+By+С=0, которое находится по формуле:
d=Ax1+By1+СA2+B2
Тогда длина высоты СD равна:
d=СD=1∙(-2)+2∙3+112+22=-2+6+11+4=55=5.
ж) Для составления системы линейных неравенств, определяющих треугольник АВС нужны уравнения всех сторон треугольника.
Уравнение стороны АВ:x+2y+1=0 и ВС: x-3y+11=0 уже были составлены, составим уравнение стороны АС:
АC:x-1-2-1=y-(-1)3-(-1); x-1-3=y+14; -4x-1=3y+1; -4x+4-3y-3=0;
4x+3y-1=0.
Для определения знаков неравенств в левую часть  каждого уравнения подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости:
Подставим т