Даны координаты вершин пирамиды ABCD

1)
AB=-2-0;4-1;0-0=-2;3;0- вектор в системе орт i, j, k
AB=-22+32+02=13-модуль вектора AB.
AC=-2-0;1-1;6-0=-2;0;6- вектор в системе орт i, j, k
AC=-22+02+62=210-модуль вектора AC.
AD=0-0;4-1;8-0=0;3;8- вектор в системе орт i, j, k
AD=02+32+82=73-модуль вектора AD.
2)
угол между векторами AB, AC находим согласно формуле;
cosα=AB∙ACAB∙AC=-2∙-2+3∙0+0∙613∙210=42130=2130=13065,
Тогда
α=arccos13065.
3)
Проекцию вектора AD на вектор AB вычислим по формуле:
прABAD=AD∙ABAB=0∙-2+3∙3+8∙013=913=91313.
4)
Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения векторов, образующих эту грань, то есть AB и AC.
SABC=12AB×AC.
Найдём AB×AC=ijk-230-206=i3006-j-20-26+
+k-23-20=18i+12j+6k.
SABC=12AB×AC=12182+122+62=12504=314.
5)
Объём пирамиды равен одной шестой от объёма параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD . Находим смешанное произведение этих векторов:
AB∙ AC∙ AD=-230-206038=раскалдываем по первой строке=
=-20638-3-2608=-20-18-3-16-0=36+48=
=84.
Значит,
VABCD=16∙84=846=14.
6)
Каноническим уравнением прямой, проходящей через точки A и C в пространстве называется уравнение
x-xAxC-xA=y-yAyC-yA=z-zAzC-zA.
AC: x-0-2-0=y-11-1=z-06-0⟺x-2=y-10=z6
с направляющим вектором s=-2;0;6.
7)
Уравнение грани ABC найдем как уравнение плоскости ABC;
Уравнение плоскости, проходящее через три заданные точки, находим по формуле:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0 .
x-0y-1z-0-2-04-10-0-2-01-16-0=0, т.е