Даны декартовы координаты точек А В С

AB-4, 3, 0, AC-9, -1, -4, BC(-5, -4, -4)
AB=42+32+02=25=5
AC=92+12+42=98
BC=52+42+42=57
Площадь треугольника АВС
S=12AB×AC
c=AB×AC=ijkaxayazbxbybz=ijk-430-9-1-4=i30-1-4-j-40-9-4+k-43-9-1=-12i-16j+31k = {-12; -16; 31}
c=122+162+312=1361
S=121361≈18.446
Длина высоты АН, проведенной из вершины А в треугольнике АВС
Уравнение стороны ВС:
x-4-5=y-2-4=z-3-4
Длина высоты АН есть расстояние от точки А до прямой ВС
s=-5, -4, -4-направляющий вектор прямой
B4, 2, 3-точка лежащая на прямой
AB=(-4, 3, 0)
d=AB×ss=136157≈4.886
Длина медианы ВМ, проведенной из вершины В в треугольнике АВС
Середина отрезка АС:
M8-12;-1-22;3-12=(3.5, -1.5, 1)
BM(-4.5, -0.5, -2)
BM=4.52+0.52+22=24.5≈4.95
Величина угла АВС
cosAB, BC=AB∙BCAB|BC|=4*5-3*4-0*4557=0.212
∠ABC=arccos0.212=77.767°
Доказать, что cos2α+sin2α=1, где α – угол между векторами АВ и АС
cosα=4*9-3*1-0*4598=0.667
α=arccos0.667=48.188°
cos2α+sin2α=0.2354990178+0.764500982=1
Уравнение высоты АН в треугольнике АВС
Можно воспользоваться двойным векторным произведением и найти направляющий вектор высоты:
BC×BA=ijk-5-4-4-430=i-4-430-j-5-4-40+k-5-4-43=12i+16j-31k = {12; 16; -31}
[BC×BC×BA=ijk-5-4-41216-31=i-4-416-31-j-5-412-31+k-5-41216=188i-203j-32k = {188; -203; -32}
AH:x-8188=y+1-203=z-3-32
Уравнение медианы ВМ в треугольнике АВС
BM:x-4-0.5=y-2-3.5=z-3-2
Проекцию вектора АВ на вектор АС
Prab=a∙b|a|=4*9-3*1-0*498=3.334
Направляющие косинусы вектора ВС
BC=57
cosα=-557;cosβ-457;cosγ-457
Уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно прямой АС
AC:x-8-9=y+1-1=z-3-4
a:x-4-9=y-2-1=z-3-4
Объем пирамиды ABCD, если D(-3, 0, 1)
AD(-7, 1, -2)
V=16-430-9-1-4-71-2=16(-4)*((-1)*(-2)-1*(-4))-(-9)*(3*(-2)-1*0)+(-7)*(3*(-4)-(-1)*0)=66=1