Даны точки M1=2 -3 2 M2=0 3 -2 M3=3 9 4

Направляющие косинусы вектора M1M2
M1M2=0-2;3+3;-2-2=-2;6;-4
M1M2=-22+62+-42=56=214
cosα=M1M2xM1M2=-2214=-114;
cosβ=M1M2yM1M2=6214=314;
cosγ=M1M2zM1M2=-4214=-214 .
2) проекцию вектора M1M2 на вектор M1M3
M1M3=3-2;9+3;4-2=1;12;2
прM1M3M1M2=M1M2∙ M1M3| M1M3|=-2∙1+6∙12+-4∙212+122+22=62149
3) длину медианы, проведенной из вершины M1 в ∆M1M2M3
Пусть M1K-искомая медиана
Координаты точки K найдём как:
xK=xM2+xM32=0+32=32; yK=yM2+yM32=3+92=6,
zK=zM2+zM32=-2+42=1.
Найдем длину вектора M1K:
M1K=32-2;6+3;1-2=-12;9;-1
M1K=-12+92+-12=14+81+1=3292.
4) длину высоты, проведенной из вершины M3
Пусть M3H – искомая высота . Вычислим значение высоты через длины всех сторон в треугольнике M1M2M3 по формуле:
M3H=2pp-M1M2p-M1M3p-M2M3M1M2,
где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:
p=M1M2+M1M3+M2M32.
Найдем длины всех сторон:
M1M2=0-22+3--32+-2-22=4+36+16=56=
=214.
M1M3=3-22+9--32+4-22=1+144+4=149.
M2M3=3-02+9-32+4--22=9+36+36=9.
Таким образом,
p=214+149+92;
p-M1M2=214+149+92-214=149+9-2142;
p-M1M3=214+149+92-149=214-149+92;
p-M2M3=214+149+92-9=214+149-92;
M3H=
=2214+149+92214+149-92214-149+92214+149-92414
=214+149+9214+149-9214-149+9214+149-9414
≈7.9.
5) при каком значении λ все четыре точки лежат в одной плоскости.
Найдем уравнение плоскости M1M2M3
x-2y+3z-20-23+3-2-23-29+34-2=x-2y+3z-2-26-41122=
=x-26-4122-y+3-2-412+z-2-26112=
=x-212+48-y+3-4+4+z-2-24-6=
=60x-2-0y+3-30z-2=60x-120-30z+60=
=60x-30z-60.
60x-30z-60=0 или 2x-z-2=0-уравнение плоскости M1M2M3.
Подставим в него координаты точки M4=5;1;λ:
2∙5-λ-2=0⇒λ=8.