Даны точки A-4 0 1 B0 -3 0 C-1 -1 1 D1

Уравнение плоскости ABC
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0
Подставим данные и упростим выражение:
x--4y-0z-10--4-3-00-1-1--4-1-01-1=0; x+4yz-14-3-13-10=0; -x-3y+5z-9=0
2. ρD;ABC-?
Для вычисления расстояния от точки D1;-2;3 до плоскости -x-3y+5z-9=0 используем формулу:
d=A∙xD+B∙yD+C∙zD+DA2+B2+C2
Подставим в формулу данные:
d=-1∙1-3∙-2+5∙3+-9-12+-32+52=-1+6+15-91+9+25=1135=113535≈1,86
3. D1-?, если точка D1 – симметричная точке D относительно плоскости ABC
ABC: -x-3y+5z-9=0
Из условия видим, что направляющий вектор плоскости равен q-1;-3;5
x-1-1=y+2-3=z-35
Найдем точку пересечения прямой и заданной плоскости.
Для этого введём параметр t в уравнении x-1-1=y+2-3=z-35=t
Или эту прямую можно переписать в параметрической форме:
x=1-ty=-2-3tz=3+5t
И подставим эти данные в заданное уравнение плоскости, получим уравнение относительно параметра t:
-1-t-3-2-3t+53+5t-9=0
-1+t+6+9t+15+25t-9=0
35t+11=0
t=-1135
И так имеем точку пересечения прямой и плоскости:
x=1--1135=1,31y=-2-3∙-1135=-1,06z=3+5∙-1135=1,43
Назовём эту точку пересечения - N и эта точка является серединой отрезка D1D . Следовательно, если D1;-2;3 и N1,31;-1,06;1,43
xN=xD1+xD2; xD1=2xN-xD=2∙1,31-1=1,62
yN=yD1+yD2; yD1=2yN-yD=2∙-1,06+2=-0,12
zN=zD1+zD2; zD1=2zN-zD=2∙1,43-3=-0,14
Следовательно, точка D1 имеет координаты 1,62;-0,12;-0,14
4. Уравнение прямой AB, A-4;0;1, B0;-3;0.
а) параметрическое.
Воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой:
x=axt+xAy=ayt+yAz=azt+zA
где ABax;ay;az – направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор AB;
AxA;yA;zA – координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки A.
AB=0--4;-3-0;0-1=4;-3;-1
В итоге получено параметрическое уравнение прямой:
x=4t-4y=-3tz=-t+1
б) каноническое.
Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA=z-zAzB-zA
Подставим в формулу координаты точек:
x--40--4=y-0-3-0=z-10-1
В итоге получено каноническое уравнение прямой:
x+44=y-3=z-1-1
5