Даны результаты наблюдений случайной величины X. Разделив интервал значений X на десять равных частей, построить группировку, гистограмму, эмпирическую функцию распределения, найти оценки математического ожидания и дисперсии исследуемой случайной величины. На основе этих построений выдвинуть гипотезу о законе распределения X и на графике гистограммы изобразить выравнивающую кривую. На уровне значимости α=0,05 по критерию χ2 Пирсона установить согласие или несогласие выдвинутой гипотезы с результатами наблюдений.
12,4 5,8 6,1 0,6 15,4 3,9 10,5 16,8 2,9 12,2
8,5 15,0 8,1 7,5 8,3 20,3 10,6 10,4 10,0 9,5
6,0 20,1 0,7 1,4 8,1 2,6 8,2 17,5 5,1 10,8
2,8 1,6 4,6 4,3 18,7 12,5 4,2 11,2 2,1 7,2
12,5 12,6 9,8 4,4 7,2 1,5 5,1 7,2 19,6 5,1
6,1 15,5 24,0 6,6 17,2 15,9
Решение
Объем выборки n=56
xmin=0,6 xmax=24
Размах выборки: R=24-0,6=23,4
Разобьем выборку на 10 интервалов с длиной интервала: h=2,34
Подсчитаем количество вхождений вариант в каждый из интервалов, относительную частоту и плотность относительных частот. Перейдем к дискретному вариационному ряду, приняв за варианты середины интервалов:
№ Интервал
Середина Частота Относительная частота Накопленная относительная частота Плотность
1 [0,6;2,94)
1,77 9 0,161 0,161 0,069
2 [2,94;5,28)
4,11 8 0,143 0,304 0,061
3 [5,28;7,62)
6,45 9 0,161 0,464 0,069
4 [7,62;9,96)
8,79 7 0,125 0,589 0,053
5 [9,96;12,3)
11,13 7 0,125 0,714 0,053
6 [12,3;14,64)
13,47 4 0,071 0,786 0,031
7 [14,64;16,98)
15,81 5 0,089 0,875 0,038
8 [16,98;19,32)
18,15 3 0,054 0,929 0,023
9 [19,32;21,66)
20,49 3 0,054 0,982 0,023
10 [21,66;24] 22,83 1 0,018 1,000 0,008
Построим гистограмму – столбчатую диаграмму, основаниями прямоугольников будут являться частичные интервалы, а высотами плотность частот
По накопленным относительным частотам составим эмпирическую функцию распределения:
F*x=0, x≤0,60,2, 0,6<x≤2,940,35, 2,94<x≤5,280,5, 5,28<x≤7,620,617, 7,62<x≤9,960,7, 9,96<x≤12,30,75, 12,3<x≤14,640,85, 14,64<x≤16,980,883, 16,98<x≤19,320,95, 19,32<x≤21,661, x>21,66
Для вычисления выборочных характеристик составим вспомогательную расчетную таблицу:
№ xi
ni
xi∙ni
(xi-x)
(xi-x)2∙ni
1 1,77 9 15,93 -7,48 503,554
2 4,11 8 32,88 -5,14 211,357
3 6,45 9 58,05 -2,8 70,560
4 8,79 7 61,53 -0,46 1,481
5 11,13 7 77,91 1,88 24,741
6 13,47 4 53,88 4,22 71,234
7 15,81 5 79,05 6,56 215,168
8 18,15 3 54,45 8,9 237,630
9 20,49 3 61,47 11,24 379,013
10 22,83 1 22,83 13,58 184,416
56 517,98
1899,153
Выборочная средняя:
x=1n∙xi∙ni=517,9856≈9,25
Выборочная дисперсия:
D=1n∙xi-x2∙ni=1899,15356≈33,91
Выборочное СКО:
σ=D=33,91≈5,82
Исправленная выборочная дисперсия:
S2=nn-1∙D=5655∙33,91≈34,53
Исправленное СКО:
s=S2=34,53≈5,88
По виду гистограммы выдвинем гипотезу о показательном распределении генеральной совокупности с параметрами:
λ=1x=19,25≈0,108
Плотность распределения:
fx=0,108∙e-0,108x, x≥0
Вычислим теоретические частоты попадания в каждый из интервалов:
ni'=pi∙n pi=e-λxi-e-λxi+1
Составим вспомогательную расчетную таблицу:
№ Интервал
e-λxi
e-λxi+1
pi
ni'
1 [0,6;2,94)
0,937 0,728 0,209 11,721
2 [2,94;5,28)
0,728 0,565 0,163 9,103
3 [5,28;7,62)
0,565 0,439 0,126 7,071
4 [7,62;9,96)
0,439 0,341 0,098 5,492
5 [9,96;12,3)
0,341 0,265 0,076 4,265
6 [12,3;14,64)
0,265 0,206 0,059 3,313
7 [14,64;16,98)
0,206 0,160 0,046 2,573
8 [16,98;19,32)
0,160 0,124 0,036 1,998
9 [19,32;21,66)
0,124 0,096 0,028 1,552
10 [21,66;24] 0,096 0,075 0,022 1,206
Вычислим значение критерия χнабл2
χнабл2=(ni-ni')2ni'
№ Интервал
ni
ni'
(ni-ni')
(ni-ni')2
(ni-ni')2ni'
1 [0,6;2,94)
9 11,721 -2,721 7,404 0,632
2 [2,94;5,28)
8 9,103 -1,103 1,217 0,134
3 [5,28;7,62)
9 7,071 1,929 3,721 0,526
4 [7,62;9,96)
7 5,492 1,508 2,274 0,414
5 [9,96;12,3)
7 4,265 2,735 7,480 1,754
6 [12,3;14,64)
4 3,313 0,687 0,472 0,142
7 [14,64;16,98)
5 2,573 2,427 5,890 2,289
8 [16,98;19,32)
3 1,998 1,002 1,004 0,503
9 [19,32;21,66)
3 1,552 1,448 2,097 1,351
10 [21,66;24] 1 1,206 -0,206 0,042 0,035
7,78
χнабл2=7,78
По таблице распределения χ2 при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы f=10-1-1=8, находим: χкрит20,05;8=15,507
Так как χнабл2<χкрит2, то гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности принимается.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
