Даны прямая x6+y3-1=0 и эллипс x29+y2-1=0

Решаем задачу на условный экстремум функции
f0x,y=x6+y3-1162+132=65x6+y3-1=655x6+y3-1
55x+255y-655 – расстояние точки до прямой при условии, что точка лежит на эллипсе f1x,y=x29+y2-1=0. Решаем методом множителей Лагранжа задачу условного экстремума функции f0x,y при условии f1x,y=C. Составляем систему, первое – условие, что градиент функции f0 перпендикулярен поверхности f1x,y=C, второе, что точка лежит на кривой, из этих трех скалярных уравнений находим координаты точки Mx,y и параметр
∇f0+λ∇f1=0
f1x,y=C
в данном случае
f0x,y=x6+y3-1162+132=55x+255y-655 – расстояние от точки до прямой (берем без модуля, чтобы не возиться со знаком).
55+λ2x9=0255+λ∙2y=0x29+y2-1=00,4472+0,2222∙λx=00,8944+2∙λy=00,1111∙x2+y2-1=0
Получаем два решения: x1=2,496314y1=0,554681λ1=-0,806229 и x2=-2,496314y2=-0,554681λ2=0,806229
Находим экстремальные значения расстояний от точек эллипса до прямой
f0x1,y1=55∙2,496314+255∙0,554681-655=-1,0708
f0x2,y2=55∙-2,496314+255∙-0,554681-655=-4,2958
В данном случае значения функции получились одинаковых знаков и прямая не пересекает эллипс, поэтому минимальное расстояние от эллипса до прямой будет равно
min-1,0708;-4,2958=1,0708
Максимальное расстояние от точек эллипса до прямой будет равно
max-1,0708;-4,2958=4,2958
Ответ: min=1,0708; max=4,2958.