Даны координаты вершин пирамиды A2 -1 2 B1

Запишем координаты векторов:
AB=xB-xA;yB-yA;zB-zA=1-2;2+1;-1-2=(-1;3;-3)
AC=xC-xA;yC-yA;zC-zA=3-2;2+1;1-2=(1;3;-1)
AD=xD-xA;yD-yA;zD-zA=-4-2;2+1;5-2=(-6;3;3)
Площадь треугольника ABC, построенного на векторах AB и AC найдем, используя свойство векторного произведения векторов:
SABC=12∙AB×AC
AB×AC=ijk-13-313-1=-3i-3j-3k-3k-j+9i=6i-4j-6k
AB×AC=62+(-4)2+(-6)2=36+16+36=88=222
SABC=2222=22 (кв.ед)
Объем пирамиды ABCD, построенного на векторах AB,AC,AD найдем, используя свойство смешанного произведения векторов:
V=16∙AB×AC∙AD
AB×AC∙AD=-13-313-1-633=-9+18-9-54-9-3=-66
V=666=11 куб.ед.
Чтобы найти длину высоты, опущенную из вершины D на плоскость ABC, используем формулу объема пирамиды:
V=13∙SABC∙h => h=3VSABC=3322 ед.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки, запишем по формуле:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0
x-2y+1z-21-22+1-1-23-22+11-2=0
x-2y+1z-2-13-313-1=0
-3x-2-3y+1-3z-2-3z-2-y+1+9x-2=0
6x-2-4y+1-6z-2=0
3x-2-2y+1-3z-2=0
3x-2y-3z-2=0
Вектор нормали к плоскости n=3;-2;-3 является направляющим к высоте, опущенной из вершины D