Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4

Вектор A1A2=0-4,7-2,2-5=-4, 5,-3,
Длина ребра А1A2
A1A2=42+52+32=50 = 7,07.
2) Канонические уравнения прямой А1А2
x-A1xA1A2x=y-A1yA1A2y=z-A1zA1A2z
x-4-4=y-25=z-5-3
3) Векторы A2A3=0-0,2-7,7-2=0, -5, 5,
A2A4=1-0,5-7,0-2=1, -2, -2.
Уравнение плоскости А2А3А4
x-A2xy-A2yz-A2zA2A3xA2A3yA2A3zA2A4xA2A4yA2A4z=0,
xy-7z-20-551-2-2=0,
A2 A3A4: 4 x + y + z – 9 = 0.
Нормальный вектор плоскости А2А3А4
n=4,1,1
sinφ=n∙A1A2nA1A2=-4∙4+5∙1-3∙142+12+1250=0,467
φ=arcsin0,467=27,8o.
Вектор A1A3=0-4,2-2,7-5=-4, 0,2.
Площадь грани вычисляется через векторное произведение.
S=12A1A2×A1A3=12ijk-45-3-402=1210i+20j+20k=
=12102+202+202=15.
Вектор A1A4=1-4,5-2,0-5=-3, 3,-5.
Объем пирамиды определяется через смешанное произведение
векторов.
V=16A1A2xA1A2yA1A2zA1A3xA1A3yA1A3zA1A4xA1A4yA1A4z=
=16-45-3-402-33-5=706=353=11,7.
Канонические уравнения высоты
x-A1xnx=y-A1yny=z-A1znz,
x-44=y-21=z-51
Параметрические уравнения высоты
x=4t+4, y=t+2, z=t+5.
Подставим эти уравнения в уравнения плоскости А2А3А4
4 (4 t + 4) + t + 2 + t + 5 – 9 = 18 t + 14 = 0,
t = -1418=-79=-0,777.
Координаты точки пересечения высоты с плоскостью А2А3А4
А5x=-479+4=89,
А5y=-79+2=119,
А5z=-79+5=389.
Длина высоты
h=A1A5x2+A1A5y2+A1A5z2=42+12+1279=3,30.
Рис