Дано векторное поле. Бесплатный доступ к решению задач

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Дано векторное поле _ _ _ _ F(M)=(-2x - 4y + 9z + 8)i + (6x + 5z - 7)j + (-3x - y + 5z + 2)k и пирамида с вершинами в точках O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,-2); Обозначим P=-2x - 4y + 9z + 8; Q=6x + 5z - 7;R=-3x-у+ 5z+ 7; _ проверить, является ли векторное поле F(M) соленоидальным; Для соленоидальности поля необходимо и достаточно, чтобы divF=0: divF=∂P∂x+∂P∂y+∂R∂z=-2+0+5=3≠0 Таким образом, поле не является соленоидальным. б) по теореме Остроградского-Гаусса найти поток векторного _ поля F(M) через полную поверхность пирамиды OABC в направлении внешней нормали; _ в) проверить, является ли поле F(M) потенциальным; Обозначим P=-2x - 4y + 9z + 8; Q=6x + 5z - 7;R=-3x-у+ 5z+ 7; Для потенциальности поля необходимо и достаточно, чтобы rotF=0 ∂P∂y=-2;∂P∂z=9; ∂Q∂x=6;∂Q∂z=5; ∂R∂y=-1;∂R∂x=-3; rotF=∂R∂y-∂Q∂zi+∂P∂z-∂R∂xj+∂Q∂x-∂P∂yk= =-1-5i+9+3j+6+2k≠0 Таким образом, поле не является потенциальным. _ г) по теореме Стокса найти циркуляцию поля F(M) по треугольнику ABC в направлении, которое из начала координат видится по часовой стрелке. Сделать чертеж. Вычислить циркуляцию векторного поля F=Pi+Qj+Rk вдоль треугольника ABC в положительном направлении. A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,-2);

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Изобразим треугольник ABC на чертеже и обязательно пометим стрелочками порядок его обхода:
Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру ABCA равна криволинейному интегралу 2-го рода по данному контуру, и в силу свойства аддитивности:
Как говорится, разделяй и властвуй:
1) Вычислим циркуляцию по отрезку :
По точкам A и  найдём направляющий вектор прямой :, и поскольку его «зетовая» координата равна нулю, то канонические уравнения прямой принимают следующий
вид: .
x-20-2=y-03-0=t;z=0
Мысленно проверяем, что координаты точек «а» и «бэ» удовлетворяют полученным уравнениям . Так как , то у нас есть возможность свести криволинейный интеграл к определённому интегралу с интегрированием по «икс» или по «игрек». Из левой пропорции выражаем: и находим дифференциал:  – таким образом решение сведётся к переменной «икс», которая в соответствии с направлением интегрирования изменяется (смотрим на чертёж!) от 3 до 1:
Как вариант, из уравнений прямой можно выразить , найти  и проинтегрировать по «игрек» от 0 до 2

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу