Дано распределение двумерного случайного вектора ξ

Найти одномерные распределения случайных величин ξ и η, их математическе ожидания Mξ, Mη и дисперсии Dξ, Dη
Суммируя вероятности в i-ой строке получим вероятности возможных значений ξ
Pξ=ξi=pi i=1, 2, 3
Pξ=-4=14+116=516=0,3125
Pξ=8=0,15+380=0,1875
Pξ=10=0,4+0,1=0,5
Закон распределения ξ имеет вид
ξ
-4 8 10
pi
0,3125 0,1875 0,5
Контроль: pi=0,3125+0,1875+0,5=1
Математическое ожидание ξ
Mξ=ξipi=-4∙0,3125+8∙0,1875+10∙0,5=-1,25+1,5+5=5,25
Дисперсия ξ
Dξ=Mξ2-Mξ2=ξi2pi-Mξ2=-42∙0,3125+82∙0,1875+102∙0,5-5,252=5+12+50-27,5625=39,4375
Суммируя вероятности в k-ом столбце получим вероятности возможных значений η
Pη=ηk=qk k=1, 2
Pη=6=14+0,15+0,4=0,8
Pη=16=116+380+0,1=0,2
Закон распределения η имеет вид
η
6 16
qk
0,8 0,2
Контроль: qk=0,8+0,2=1
Математическое ожидание η
Mη=ηkqk=6∙0,8+16∙0,2=4,8+3,2=8
Дисперсия η
Dη=Mη2-Mη2=ηk2qk-Mη2=62∙0,8+162∙0,2-82=28,8+51,2-64=16
Доказать независимость случайных величин ξ и η . Вычислить непосредственно их корреляционный момент Kξη.
Случайные величины независимы, если для любой пары значений ξ=ξi , η=ηk справедливо равенство
Pξ=ξi , η=ηk=Pξ=ξi∙Pη=ηk
Проверим справедливость равенства для всех пар значений
Pξ=-4 , η=6=14=0,25; Pξ=-4=0,3125; Pη=6=0,8; Pξ=-4∙Pη=6=0,25
Pξ=-4 , η=6=Pξ=-4∙ Pη=6
Pξ=-4 , η=16=116=0,0625; Pξ=-4=0,3125; Pη=16=0,2; Pξ=-4∙Pη=16=0,0625
Pξ=-4 , η=16=Pξ=-4∙ Pη=16
Pξ=8 , η=6=0,15; Pξ=8=0,1875; Pη=6=0,8; Pξ=8∙Pη=6=0,15
Pξ=8 , η=6=Pξ=8∙ Pη=6
Pξ=8 , η=16=380=0,0375; Pξ=8=0,1875; Pη=16=0,2; Pξ=8∙Pη=16=0,0375
Pξ=8 , η=16=Pξ=8∙Pη=16
Pξ=10 , η=6=0,4; Pξ=10=0,5; Pη=6=0,8; Pξ=10∙Pη=6=0,4
Pξ=10 , η=6=Pξ=10∙Pη=6
Pξ=10 , η=16=0,1; Pξ=10=0,5; Pη=16=0,2; Pξ=10∙Pη=16=0,1
Pξ=10 , η=16= Pξ=10∙Pη=16
Равенство Pξ=ξi , η=ηk=Pξ=ξi∙Pη=ηk справедливо для любой пары значений ξ=ξi , η=ηk, значит случайные величины ξ и η независимы.
Корреляционный момент Kξη
Kξη=Mξη-Mξ∙Mη=-4∙6∙0,25+-4∙16∙0,0625+8∙6∙0,15+8∙16∙0,0375+10∙6∙0,4+10∙16∙0,1-5,25∙8=-6-4+7,2+4,8+24+16-42=0