Данные о ВВП на душу населения ($) в развивающихся странах в 2010 г. (с доходом не выше 4000$).
16,05 15,8 15,97 16,18 16,26 16,22 16,2
16,17 16,07 15,99 16,06 16,07 15,98 16,08
15,87 16,03 16,21 16,23 16,04 15,94 16,03
16,1 15,97 16,16 16,11 16,12 16,14 16,11
16,22 15,97 16,27 16,16 16,32 16,21 16,14
16,13 16,1 15,98 16,12 16,07 16,06 16,11
16,14 15,93 16,17 16,16 15,99 16,15 16,13
16,13 16,13 15,91 16,18 16,06 16,18 16,07
16,08 16,4 16,03 16,16 15,89 16,04 16,15
16,17 16,1 16,11 16,12 16,08 16,13 16,1
По заданному варианту выборочной совокупности независимых измерений случайной величины X (СВ X) (предварительно удалив резко выделяющиеся наблюдения):
1. Составить интервальный статистический ряд распределения относительных частот, построить гистограмму и полигон относительных частот.
2. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
3. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса.
4. Исходя из общих представлений о механизме образования СВ X, а также по виду гистограммы и полигона относительных частот и вычисленным числовым характеристикам, выдвинуть гипотезу о виде закона распределения СВ X; записать плотность распределения вероятностей и функцию распределения для выдвинутого гипотетического закона, заменяя параметры закона вычисленным для них оценками.
5. Вычислить интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительным вероятностям p=0,95 и p=0,99.
При выполнении работы с использованием статистических ППП
6.1. По критерию согласия хи-квадрат Пирсона проверить соответствие выборочного распределения гипотетическому закону для уровня значимости α=0,05.
6.2. Вычислить оценки моды, медианы, эксцесса, выборочных квартилей.
Решение
1-2. Тип признака непрерывный, т.к. исходные цифры могут принимать любые дробные значения на определенном промежутке.
Удалим резко выделяющиеся наблюдения, руководствуясь графиком ниже:
Такими значениями будут: x=3880 и x=5120.
Построим дискретный вариационный ряд распределения.
Для этого выпишем все значения xi в порядке возрастания и подсчитаем абсолютные частоты, результаты сведем в таблицу:
xi
ni
290 1
330 1
380 1
390 1
400 1
410 1
420 1
460 2
490 1
520 2
600 1
620 1
690 1
710 2
740 1
820 1
840 1
860 1
900 2
920 1
950 1
970 1
980 1
1020 2
1080 1
1090 1
1140 1
1220 1
1250 1
1270 1
1280 1
1310 1
1340 1
1350 1
1380 1
1400 1
1490 1
1760 1
1810 1
1850 1
2130 1
2180 1
Итог 47
Проведем группировку исходных данных, т.е. разобьем варианты на отдельные интервалы. Найдем разность между наибольшим и наименьшим значениями признака xmax–xmin =2180-290=1890.
Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса:
m=1+3,2log47≈7.
Тогда при разбивке на 7 интервалов длина интервала составит h =18907=270,00.
Полученный интервальный ряд представим в виде таблицы:
Интервальный ряд
i
Длина интервала Нижняя граница интервала Верхняя граница интервала Середина интервала
1 270,00 290,00 560,00 425,00
2 270,00 560,00 830,00 695,00
3 270,00 830,00 1100,00 965,00
4 270,00 1100,00 1370,00 1235,00
5 270,00 1370,00 1640,00 1505,00
6 270,00 1640,00 1910,00 1775,00
7 270,00 1910,00 2180,00 2045,00
Найдем абсолютные частоты, относительные и интегральные (накопленные частоты), пользуюсь для удобства вычислений таблицей с дискретным вариационным рядом:
Интервальный ряд
i
Середина интервала Абсолютная частота ni
Относительная частота (частость) wi=ni/N
Накопленная частота niнакопл
1 425 12 0,26 0,26
2 695 7 0,15 0,40
3 965 12 0,26 0,66
4 1235 8 0,17 0,83
5 1505 3 0,06 0,89
6 1775 3 0,06 0,96
7 2045 2 0,04 1,00
Σ
47 1
Для наглядности интервальные ряды изображают графически с помощью полигона и гистограммы.
Для построения полигона и гистограммы используется прямоугольная система координат, на оси абсцисс которой строится шкала значений (интервальные группы), а на оси ординат – частот или частостей.
Таким образом, построим в excel гистограмму абсолютных частот.
Построим в excel полигон абсолютных частот.
Построим в excel гистограмму относительных частот.
Построим в excel полигон относительных частот.
Эмпирическая функция распределения X:
Если x≤560, то F*x=0.
Если 560<x≤830, то F*x=0,26.
Если 830<x≤1100, то F*x=0,26+0,15=0,40.
Если 1100<x≤1370, то F*x=0,40+0,26=0,66.
Если 1370<x≤1640, то F*x=0,66+0,17=0,83.
Если 1640<x≤1910, то F*x=0,83+0,06=0,89.
Если 1910<x≤2180, то F*x=0,89+0,06=0,96.
Если x>2180, то F*x=0,96+0,04=1.
Получим искомую эмпирическую функцию распределения:
F*(x)=0,при x≤560,0,26,при 560<x≤830,0,40,при 830<x≤1100,0,66,при 1100<x≤1370,0,83,при 1370<x≤1640,0,89,при 1640<x≤1910,0,96,при 1910<x≤2180,1,при x>2180.
По накопленным частостям строится кумулята (графическое представление эмпирической функции распределения). Кумулята отражает характер нарастания частостей от группы к группе.
Если оси поменять местами, т.е. группы откладывать на оси ординат, а накопленные частости – на оси абсцисс, то построенная кривая будет называться огивой. Построим огиву в excel в виде гистограммы.
3-4.
Составим вспомогательную таблицу для вычисления выборочных характеристик ряда.
i
xi
ni
xi∙ni
(xi-x)
(xi-x)2∙ni
(xi-x)3∙ni
(xi-x)4∙ni
1 425 12 5100 -540 3499200 -1889568000 1020366720000
2 695 7 4865 -270 510300 -137781000 37200870000
3 965 12 11580 0 0 0 0
4 1235 8 9880 270 583200 157464000 42515280000
5 1505 3 4515 540 874800 472392000 255091680000
6 1775 3 5325 810 1968300 1594323000 1291401630000
7 2045 2 4090 1080 2332800 2519424000 2720977920000
Σ
47 45355 9768600 2716254000 5367554100000
На основании таблицы найдем точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения.
Точечной оценкой математического ожидания – несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя:
xв*=i=17xi∙nin,
xв*=4535547=965.
Смещенной оценкой дисперсии служит выборочная дисперсия:
Dв*=i=17(xi-x)2∙nin=976860047≈207842,5532.
Выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины X.
σв*=Dв*≈455,8975.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:
S2=i=17(xi-x)2∙nin-1=976860046≈212360,8696.
Исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины x.
s=S2≈460,8263.
Найдем центральные моменты третьего и четвертого порядков:
m30=i=17(xi-x)3∙nin=271625400047.
m40=i=15(xi-x)4∙nin=536755410000047.
Тогда выборочный коэффициент асимметрии.
β1*=m30σ3≈0,610.
Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии.
Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности)
. Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.
Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (β2*>0), для более плосковершинных (сплюснутых) - отрицательный (β2*<0).
Для нормального распределения эксцесс равен нулю. Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом.
Выборочный коэффициент эксцесса:
β2*=m40σ4-3≈-0,356.
β2*<0 - плосковершинное распределение.
Для наших экспериментальных данных среднее ВВП на душу населения ($) оказалось равным 965 ($). Можно предположить, что отклонение от среднего X является случайной величиной, порожденной совокупным действием большого числа факторов. Поэтому СВ X можно представить в виде суммы ряда, вообще говоря, случайных факторов, которые можно считать малыми и независимыми (или слабо зависимыми): X=X1+X2+….+Xr.
Такое представление соответствует условиям центральной предельной теоремы. Поэтому распределение СВ X можно представить как сумму двух слагаемых: среднего ВВП на душу населения ($), и случайных колебаний, распределенных по нормальному закону.
Экспериментальные данные подтверждают это предположение. Вид гистограммы и полигона относительных частот напоминают нормальную кривую распределения; выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса по величине сравнимы с погрешностями их определения. Их отличие от нуля, вероятно, обусловлено ограниченным объемом выборки.
Поэтому гипотетическим распределением содержания меди в сплаве следует считать нормальный закон.
Построим в excel нормальную кривую.
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид
fx=1σ2πe-x-a22σ2, где a– математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение X.
В нашем случае: a=xв*≈965, σ=σв*≈455,8975.
На основе анализа гистограммы, вычисленных выборочных моментов и вида теоретической кривой можем выдвинуть предположение о характере генерального распределения – случайная величина X распределена по нормальному закону.
6.1.
Проверим гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
Найдем интервалы zi,zi+1:
i
Границы интервала xi-x
xi+1-x
Границы интервала
xi
xi+1
zi=xi-xσ
zi+1=xi+1-xσ
1 290 560 - -405 -∞
-0,89
2 560 830 -405 -135 -0,89 -0,30
3 830 1100 -135 135 -0,30 0,30
4 1100 1370 135 405 0,30 0,89
5 1370 1640 405 675 0,89 1,48
6 1640 1910 675 945 1,48 2,07
7 1910 2180 945 - 2,07 ∞
i
Границы интервала Φ(zi)
Φ(zi+1)
Pi=Φzi+1-Φ(zi)
ni'=47Pi
zi
zi+1
1 -∞
-0,89 -0,5000 -0,3133 0,19 8,77
2 -0,89 -0,30 -0,3133 -0,1179 0,20 9,18
3 -0,30 0,30 -0,1179 0,1179 0,24 11,08
4 0,30 0,89 0,1179 0,3133 0,20 9,18
5 0,89 1,48 0,3133 0,4306 0,12 5,51
6 1,48 2,07 0,4306 0,4808 0,05 2,36
7 2,07 ∞
0,4808 0,5000 0,02 0,90
Σ
1 47
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона.
χнабл2=ni2/ni'-n.
Контроль: ni2/ni'-n=51,58-4,58=47=χнабл2.
i
ni
ni'
ni-ni'
ni-ni'2
ni-ni'2/ni'
ni2
ni2/ni'
1 12 8,77 3,23 10,40 1,19 144 16,41
2 7 9,18 -2,18 4,77 0,52 49 5,34
3 12 11,08 0,92 0,84 0,08 144 12,99
4 8 9,18 -1,18 1,40 0,15 64 6,97
5 3 5,51 -2,51 6,32 1,15 9 1,63
6 3 2,36 0,64 0,41 0,18 9 3,82
7 2 0,90 1,10 1,20 1,33 4 4,42
Σ
47 47
χнабл2=4,58
51,58
По таблице критических точек распределения χ2 («ХИ-квадрат» распределения), по уровня значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=s-3=7-3=4, s – число интервалов, находим критическую точку правосторонней критической области χкр20,05;4=9,5.
Так как χнабл2<χкр2, то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности; другими словами расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами незначимо
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
