Данную систему уравнений исследовать и решить тремя способами

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
А=1212-3-1112
данной системы и ранг расширенной матрицы
В=1212-3-11121-41
Для этого умножим первую строку матрицы на -2 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -1 сложим с третьей; умножим вторую строку матрицы на -17 сложим с третей, получим
В=1212-3-11121-41~1210-7-30-111-60~1210-7-30010/71-66/7
Следовательно, rangA = rangB = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение
а) Находим решение системы по формулам Крамера
Найдем определитель основной матрицы системы:
∆=1212-3-1112=1-3-112-2∙2-112+1∙2-311=
=1-6+1-2∙4+1+1∙2+3=-5-10+5=-10
Теперь вычислим вспомогательные определители
∆x=121-4-3-1112=1-3-112-2∙-4-112+1∙-4-311=
=1∙-6+1-2∙-8+1+1∙-4+3=-5+14-1=8;
∆y=1112-4-1112=1-4-112-1∙2-112+1∙2-411=
=1∙-8+1-1∙4+1+1∙2+4=-7-5+6=-6;
∆z=1212-3-4111=1-3-411-2∙2-411+1∙2-311=
=1∙-3+4-2∙2+4+1∙2+3=1-12+5=-6;
Используя формулы Крамера, находим неизвестные x, y и z
x=∆x∆=8-10=0,8, y=∆y∆=-6-10=0,6,z=∆z∆=-6-10=0,6.
б) Метод Гаусса . Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Умножим первую строку матрицы на -2 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -1 и сложим с третьей; делим вторую строку на 7; умножим вторую строку матрицы на- 17 сложим ;вторую строку сложим с третей, получим
1212-3-11121-41~1210-7-30-111-60~12101370-111670~
~12101370010716767
Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
x+2y+z=1y+37z=67107z=67
Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
z=0,6,y=0,6, x=-0,8
Следовательно, x=0,8,y = 0,6, z=0,6
в) Решение матричным методом:
Формируем матрицы, состоящие из элементов системы:
А=1212-3-1112, Х=xyz, В=-141
Запишем систему в матричном виде AX B :
1212-3-1112∙xyz=1-41
Прежде всего, найдем матрицу А-1, обратную матрице А.Определитель основной матрицы системы:
∆=1212-3-1112=-10
Алгебраические дополнения всех элементов:
A11=-3-112=-5; A12=-2-112=-5; A13=2-311=5;
A21=-2112=-3; A22=1112=13; A23=-1211=1;
A31=21-3-1=1; A32=-112-1=3; A33=122-3=-7
Транспонированная союзная матрица:
AT=-5-31-51341-7
Тогда обратная матрица имеет вид
A-1=ATdetA=-110-5-31-51341-7=12310-11012-110-310-12-110710
Найдем решение
X=xyz=A-1∙B=12310-11012-110-310-12-110710∙1-41
=12∙1+310∙-4+-110∙112∙1+-110∙-4+-310∙1-12∙1+-110∙-4+710∙1=12-65-11012+25-310-12+25+710=-453535
 Отсюда получаем решение системы: x=-0,8, y=0,6, z=0,6.
Ответ: x=-0,8, y=0,6, z=0,6.