Данную систему уравнений исследовать и решить тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) средствами матричного исчисления. 7x-5y=314x+11z=-432x+3y+4z=-20
Решение
С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
А=7-504011234
данной системы и ранг расширенной матрицы
В=7-50401123431-43-20
Для этого умножим первую строку матрицы на -4/7 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -2/7 и сложим с третьей; умножим вторую строку матрицы на -31/20 сложим с третей, получим
В=7-50401123431-43-20~7-500207110317431-4257-2027~7-5002071100-2612031-4257-2614
Следовательно, rangA = rangB = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение
а) Находим решение системы по формулам Крамера
Найдем определитель основной матрицы системы:
∆=7-504011234=701134+5∙41124+0∙4023=
=70-33+5∙16-22-0∙12-0=-231-30=-261
Теперь вычислим вспомогательные определители
∆x=31-50-43011-2034=3101134+5∙-4311-204+0∙4023=
=31∙0-33-5∙-172+220+0∙12-0=-1023+240+0=-783;
∆y=73104-43112-204=7-4311-204-31∙41124+0∙4-432-20=
=7∙-172+220-3116-22-0∙-80+86=336+186=522;
∆z=7-53140-4323-20=70-433-20+5∙4-432-20+31∙4023=
=7∙0+129+5∙-80+86+31∙12-0=903+30+372=1305;
Используя формулы Крамера, находим неизвестные x, y и z
x=∆x∆=-783-261=3, y=∆y∆=522-261=-2,z=∆z∆=1305-261=-5.
б) Метод Гаусса
. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Умножим первую строку матрицы на -1/7. Умножим первую строку матрицы на -4 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -2 и сложим с третьей; делим вторую строку на 6,5; умножим вторую строку матрицы на 720 ; вторую строку умножим на -31/7 и сложим с третей, получим
7-50401123431-43-20~1-5704011234317-43-20~1-57002071103174317-4257-2027~
~1-570013,8503174317-21б25-2027~1-570013,8500-13,05317-21,2565,25
Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
x-57y=317y+3,85z=-21,25-13,05z=65,25
Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
z=-5,y=-2, x=3
Следовательно, x=3,y =-2, z=-5.
в) Решение матричным методом:
Формируем матрицы, состоящие из элементов системы:
А=7-504011234, Х=xyz, В=31-43-20
Запишем систему в матричном виде AX B :
7-504011234∙xyz=31-43-20
Прежде всего, найдем матрицу А-1, обратную матрице А.Определитель основной матрицы системы:
∆=7-504011234=-261
Алгебраические дополнения всех элементов:
A11=01134=-33; A12=-41124=6; A13=4023=12;
A21=--5034=-20; A22=7024=28; A23=-7-523=31;
A31=-50011=-55; A32=-70411=-77; A33=7-540=20
Транспонированная союзная матрица:
AT=-3320-55628-77-12-3120
Тогда обратная матрица имеет вид
A-1=ATdetA=-1261-3320-55628-77-12-3120
Найдем решение
X=xyz=-1261A-1∙B=-3320-55628-77-12-3120∙31-43-20=
=-1261-33∙31+20∙-43-55∙-206∙31+28∙-43-77∙-2012∙31-31∙-43+20∙-20
=-1261-1023-860+1100186-1204+1540372+1333-400=-1261-9375221305=3-2-5
Отсюда получаем решение системы: x=3, y=-2, z=-5.
Ответ: x=3 y=-2, z=-5.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
