Данную систему уравнений исследовать и решить тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) средствами матричного исчисления. 2x-y+3z=-7x+2y-z=43x-3y-2z=1.
Решение
С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
А=2-1312-13-3-2
данной системы и ранг расширенной матрицы
В=2-1312-13-3-2-741
Для этого умножим первую строку матрицы на -12 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -32 сложим с третьей; умножим вторую строку матрицы на 35 сложим с третей, получим
В=2-1312-13-3-2-741~2-1305/2-5/20-3/2-13/2-715/223/2~2-1305/2-5/200-8-715/216
Следовательно, rangA = rangB = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение
а) Находим решение системы по формулам Крамера
Найдем определитель основной матрицы системы:
∆=2-1312-13-3-2=22-1-3-2--1∙1-13-2+3∙123-3=
=2-4-3+1∙-2+3+3∙-3-6=-14+1-27=-40
Теперь вычислим вспомогательные определители
∆x=-7-1342-11-3-2=-72-1-3-2--1∙4-11-2+3∙421-3=
=-7∙-4-3+1∙-8+1+3∙-12-2=49-7-42=0;
∆y=2-7314-131-2=24-13-2--7∙1-13-2+3∙1431=
=2∙-8+1+7∙-2+3+3∙1-12=-14+7-33=-40;
∆z=2-1-71243-31=224-31--1∙1431+-7∙123-3=
=2∙2+12+1∙1-12-7∙-3-6=28-11+63=80;
Используя формулы Крамера, находим неизвестные x, y и z
x=∆x∆=0-40=0, y=∆y∆=-40-40=1,z=∆z∆=80-40=-2.
б) Метод Гаусса
. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Поменяем местами первую и вторую строки. Умножим первую строку матрицы на -2 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -3 и сложим с третьей; делим вторую строку на 7; умножим вторую строку матрицы на- 15 сложим ;вторую строку умножим на 9 и сложим с третей, получим
2-1312-13-3-2-741~12-12-133-3-24-71~12-10-550-914-15-11~
~12-101-10-9143-11~12-101-100-84316
Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
x+2y-z=4y-z=3-8z=16
Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
z=-2,y=1, x=0
Следовательно, x=0,y = 1, z=-2
в) Решение матричным методом:
Формируем матрицы, состоящие из элементов системы:
А=2-1312-13-3-2, Х=xyz, В=-741
Запишем систему в матричном виде AX B :
2-1312-13-3-2∙xyz=-741
Прежде всего, найдем матрицу А-1, обратную матрице А.Определитель основной матрицы системы:
∆=2-1312-13-3-2=-40
Алгебраические дополнения всех элементов:
A11=2-1-3-2=-7; A12=-1-13-2=-1; A13=123-3=-9;
A21=--13-3-2=-11; A22=233-2=-13; A23=-2-13-3=-3;
A31=-132-1=-5; A32=-231-1=5; A33=2-112=5
Транспонированная союзная матрица:
AT=-7-11-5-1-135-935
Тогда обратная матрица имеет вид
A-1=ATdetA=-140-7-11-5-1-135-935=7401140181401340-18940-340-18
Найдем решение
X=xyz=A-1∙B=7401140181401340-18940-340-18∙-741
=740∙-7+1140∙4+18∙1140∙-7+1340∙4+-18∙1940∙-7+-340∙4+-18∙1=-4940+4440+18-740+1310-18+-6340+310-18=01-2
Отсюда получаем решение системы: x=0, y=1, z=-2.
Ответ: x=0, y=1, z=-2.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
