Данную систему уравнений исследовать и решить тремя способами

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
А=1-2323-43-2-5
данной системы и ранг расширенной матрицы
В=1-2323-43-2-56206
Для этого умножим первую строку матрицы на -2 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -3 сложим с третьей; умножим вторую строку матрицы на -47 сложим с третей, получим
В=1-2323-43-2-56206~1-2307-1004-1468-12~1-2307-1000-58768-1167
Следовательно, rangA = rangB = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение
а) Находим решение системы по формулам Крамера
Найдем определитель основной матрицы системы:
∆=1-2323-43-2-5=13-4-2-5-2∙2-43-5+3∙233-2=
=1-15-8+2∙-10+12+3∙-4-9=-23+4-39=-58
Теперь вычислим вспомогательные определители
∆x=6-23203-46-2-5=63-4-2-5--2∙20-46-5+3∙2036-2=
=6∙-15-8+2∙-100+24+3∙-40-18=-138-152-174=
=-464;
∆y=163220-436-5=120-46-5-6∙2-43-5+3∙22036=
=1∙-100+24-6∙-10+12+3∙12-60=-76-12-144=-232;
∆z=1-2623203-26=1320-26-2∙22036+6∙233-2=
=1∙18+40+2∙12-60+6∙-4-9=58-96-78=-116;
Используя формулы Крамера, находим неизвестные x, y и z
x=∆x∆=-464-58=8, y=∆y∆=-232-58=2,z=∆z∆=-116-58=2.
б) Метод Гаусса . Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Умножим первую строку матрицы на -2 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -3 и сложим с третьей; делим вторую строку на 7; умножим вторую строку матрицы на 35 сложим ;вторую строку умножим на -4 и сложим с третей, получим
1-2323-43-2-56206~1-2307-1004-1468-12~1-2301-10704-14687-12~
~1-2301-10700-587687-1167
Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
x-2y+3z=6y-107z=87-587z=-1167
Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
z=-1167∙-758=2,y=87+107∙2=4, x=6+2∙4-3∙2=8
Следовательно, x=8,y = 4, z=2
в) Решение матричным методом:
Формируем матрицы, состоящие из элементов системы:
А=1-2323-43-2-5, Х=xyz, В=6206
Запишем систему в матричном виде AX B :
1-2323-43-2-5∙xyz=6206
Прежде всего, найдем матрицу А-1, обратную матрице А.Определитель основной матрицы системы:
∆=1-2323-43-2-5=-58
Алгебраические дополнения всех элементов:
A11=3-4-2-5=-23; A12=-2-42-5=-2; A13=232-2=-13;
A21=--24-2-5=-16; A22=142-5=-14; A23=-1-22-2=-4;
A31=-243-4=-1; A32=-142-4=10; A33=1-223=7
Транспонированная союзная матрица:
AT=-23-16-12-1410-13-47
Тогда обратная матрица имеет вид
A-1=ATdetA=-158-23-16-12-1410-13-47=2358829158129729-1291358229-758
Найдем решение
X=xyz=A-1∙B=2358829158129729-1291358229-758∙6206
=2358∙6+829∙20+158∙6129∙6+729∙20+-529∙61358∙6+229∙20+-758∙6=6929+16029+329629+14029-30293929+4029-2129=842
 Отсюда получаем решение системы: x=8, y=4, z=2.
Ответ: x=8, y=4, z=2.