Дана выборка объема n=100
-4,61 -11,57 -2,96 -8,32 -3,63 -8,29 -17,35 -5,35 -12,28 -2,92
-20,38 -9,68 -2,54 -4,07 -7,45 -7,54 -19,2 -1,54 -3,66 -8,26
-13,59 -20,13 -7,52 -8,04 -7,33 -3,37 0,32 -8,68 -6,08 -2,27
-11,75 -6,34 -3,29 -14,07 -9,98 -0,28 -8,96 -5,99 -9,05 -1,61
-8,39 -8,98 -5,8 -12,06 -0,91 -6,48 -3 -7,71 -8,64 -3,13
-13,06 -7,73 -5,26 -13,59 -21,86 -18,17 -9,73 -1,23 -7,39 -10,66
-10,06 -11,9 -13,59 -6,22 -7,04 -7,69 -4,07 -13,94 -8,02 -10,65
-5,84 -14,78 -5,64 -6,59 1,91 -0,32 3,44 1,23 -10,94 3,53
-10,27 -11,7 -4,14 -12,25 -12,78 -9,88 -5,9 -18,56 -0,38 -11,5
-1,58 -1,87 -13,44 -2,28 -2,44 -13,04 -10,1 0,86 -4,44 -11,01
Требуется:
Построить гистограмму и график эмпирической функции распределения вероятностей.
Вычислить числовые характеристики вариационного ряда x, s, s2.
Построить графики теоретических функций распределения вероятности и плотности распределения вероятности, в предположении, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, и сравнить эти графики с гистограммой и эмпирической функцией распределения вероятностей.
Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, пользуясь критерием Пирсона.
Найти доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания и неизвестной дисперсии.
Решение
Строим таблицу, в которой числа располагаются в порядке возрастания
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
-21,86 -20,38 -20,13 -19,2 -18,56 -18,17 -17,35 -14,78 -14,07 -13,94
n
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
-13,59 -13,59 -13,59 -13,44 -13,06 -13,04 -12,78 -12,28 -12,25 -12,06
n
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x
-11,9 -11,75 -11,7 -11,57 -11,5 -11,01 -10,94 -10,66 -10,65 -10,27
n
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
x
-10,1 -10,06 -9,98 -9,88 -9,73 -9,68 -9,05 -8,98 -8,96 -8,68
n
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
x
-8,64 -8,39 -8,32 -8,29 -8,26 -8,04 -8,02 -7,73 -7,71 -7,69
n
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
x
-7,54 -7,52 -7,45 -7,39 -7,33 -7,04 -6,59 -6,48 -6,34 -6,22
n
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
x
-6,08 -5,99 -5,9 -5,84 -5,8 -5,64 -5,35 -5,26 -4,61 -4,44
n
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
x
-4,14 -4,07 -4,07 -3,66 -3,63 -3,37 -3,29 -3,13 -3 -2,96
n
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
x
-2,92 -2,54 -2,44 -2,28 -2,27 -1,87 -1,61 -1,58 -1,54 -1,23
n
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
x
-0,91 -0,38 -0,32 -0,28 0,32 0,86 1,23 1,91 3,44 3,53
Из таблицы выбираем наибольшее и наименьшее значения
xmin=-21,86; xmax=3,53
Примем: xmin=-22; xmax=4.
Найдем шаг выборки, разбив ее на 10 интервалов
h=xmax-xmin10=4+2210=2,6
Интервалы: -22; -19,4 -19,4; -16,8 -16,8; -14,2 -14,2; -11,6 -11,6; -9 -9; -6,4
-6,4; -3,8 -3,8; -1,2 -1,2; 1,4 1,4;4
Начнем заполнять таблицу 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 ∆xi
[-22; -19,4) [-19,4; -16,8) [-16,8; -14,2) [-14,2; -11,6) [-11,6; -9) [-9; -6,4) [-6,4; -3,8) [-3,8; -1,2) [-1,2; 1,4) [1,4; 4]
2 xi*
-20,7 -18,1 -15,5 -12,9 -10,3 -7,7 -5,1 -2,5 0,1 2,7
3 mi
3 4 1 15 14 21 15 17 7 3
4 pi*=min
0,03 0,04 0,01 0,15 0,14 0,21 0,15 0,17 0,07 0,03
5 Fi*=ipi*
0,03 0,07 0,08 0,23 0,37 0,58 0,73 0,9 0,97 1
6 wi*=pi*h
0,0115 0,0154 0,0038 0,0577 0,0538 0,0808 0,0577 0,065 0,0269 0,0115
Комментарий к таблице 1:
∆xi – интервалы, на которые разбиваются элементы в таблице, расположенные в порядке возрастания.
xi* — это середины интервалов. Пусть xi*=xi+xi+12.
mi – абсолютные частоты (количество чисел из выборки, попадающие в i-й интервал). Проверка: mi=100.
pi* - относительные частоты pi*=min. Проверка: pi=1.
Fi* - эмпирическая (статистическая) функция распределения (функция распределения выборки), определяющая для каждого значения X относительную частоту события X<x.
Эмпирической функции распределения вероятностей имеет вид
Fi*=0, x<-220,03, -22<x<-19,40,07, -19,4<x<-16,80,08, -16,8<x<-14,20,23, -14,2<x<-11,60,37, -11,6<x<-90,58, -9<x<-6,40,73, -6,4<x<-3,80,9, -3,8<x<-1,20,97, -1,2<x<1,41, x>1,4
wi* - плотность относительных частот
. wi*=pi*h. h=2,6.
Предполагаем, что выборка распределена по нормальному закону.
Заполним таблицу 2
1 2 3 4 5 6 7 8
xi*
mi
xi*mi
xi*2
xi*2mi
xi
ftxi
Ftxi
1 -20,7 3 -62,1 428,49 1285,47 -2,47 0,0036 0,0068
2 -18,1 4 -72,4 327,61 1310,44 -1,98 0,0106 0,0239
3 -15,5 1 -15,5 240,25 240,25 -1,49 0,0248 0,0681
4 -12,9 15 -193,5 166,41 2496,15 -1 0,0456 0,1587
5 -10,3 14 -144,2 106,09 1485,26 -0,51 0,0661 0,305
6 -7,7 21 -161,7 59,29 1245,09 -0,02 0,0752 0,492
7 -5,1 15 -76,5 26,01 390,15 0,47 0,0674 0,6808
8 -2,5 17 -42,5 6,25 106,25 0,96 0,0475 0,8315
9 0,1 7 0,7 0,01 0,07 1,45 0,0263 0,9265
10 2,7 3 8,1 7,29 21,87 1,94 0,0115 0,9738
Σ
- 100 -759,6 - 8581 - - -
Комментарий к таблице 2:
xi* - середина интервала (берем из таблицы 1).
mi – абсолютные частоты (берем из таблицы 1).
4, 5 – эти колонки в таблице 2, рассчитываются по заданным формулам.
Найдем точечные оценки для неизвестных параметров распределения.
Выборочная средняя (математическое ожидание)
x=1ni=1nxi*mi=1100∙-759,6=-7,596
Выборочная дисперсия
s2=1ni=1nxi*2mi-x2=1100∙8581--7,5962≈28,1108
Среднеквадратическое отклонение
s=s2=28,1108≈5,302
Для того чтобы проверить гипотезу о том, что выборка получена из нормальной генеральной совокупности, подставим точечные оценки вместо неизвестных параметров плотности распределения вероятности
ftx=1σ2π∙e-x-m22σ2=m=x=-7,596D=s2=28,1108σ=s=5,302=15,3022π∙e-x--7,59622∙5,3022=0,1886∙12π∙e-x+7,59622∙5,3022
Пусть
xi=xi*-xs=xi*--7,5965,302=xi*+7,5965,302
Находим xi
x1=-20,7+7,5965,302≈-2,47
x2=-18,1+7,5965,302≈-1,98
x3=-15,5+7,5965,302≈-1,49
x4=-12,9+7,5965,302≈-1
x5=-10,3+7,5965,302≈-0,51
x6=-7,7+7,5965,302≈-0,02
x7=-5,1+7,5965,302≈0,47
x8=-2,5+7,5965,302≈0,96
x9=0,1+7,5965,302≈1,45
x10=2,7+7,5965,302≈1,94
Тогда ftxi=0,1886∙φxi, где φxi=12π∙e-x22 - находим по таблице по значениям аргумента xi, φx – четная, то есть φ-x=φx
ftx1=0,1886∙φ-2,47=0,1886∙φ2,47=0,1886∙0,0189≈0,0036
ftx2=0,1886∙φ-1,98=0,1886∙φ1,98=0,1886∙0,0562≈0,0106
ftx3=0,1886∙φ-1,49=0,1886∙φ1,49=0,1886∙0,1315≈0,0248
ftx4=0,1886∙φ-1=0,1886∙φ1=0,1886∙0,242≈0,0456
ftx5=0,1886∙φ-0,51=0,1886∙φ0,51=0,1886∙0,3503≈0,0661
ftx6=0,1886∙φ-0,02=0,1886∙φ0,02=0,1886∙0,3989≈0,0752
ftx7=0,1886∙φ0,47=0,1886∙0,3572≈0,0674
ftx8=0,1886∙φ0,96=0,1886∙0,2516≈0,0475
ftx9=0,1886∙φ1,45=0,1886∙0,1394≈0,0263
ftx10=0,1886∙φ1,94=0,1886∙0,0608≈0,0115
Подсчитываем теоретическую функцию распределения
Ftxi=Fxi*-xs=0,5+Фxi*+7,5965,302
где Фx=12π0xe-t22dt - находим по таблице значения функции Лапласа по значениям аргумента xi
Ф-x=1-0,5+Фx=0,5-Фx
F1-2,47=0,5-Ф2,47=0,5-0,4932=0,0068
F2-1,98=0,5-Ф1,98=0,5-0,4761=0,0239
F3-1,49=0,5-Ф1,49=0,5-0,4319=0,0681
F4-1=0,5-Ф1=0,5-0,3413=0,1587
F5-0,51=0,5-Ф0,51=0,5-0,195=0,305
F6-0,02=0,5-Ф0,02=0,5-0,008=0,492
F70,47=0,5+Ф0,47=0,5+0,1808=0,6808
F80,96=0,5+Ф0,96=0,5+0,3315=0,8315
F91,45=0,5+Ф1,45=0,5+0,4265=0,9265
F101,94=0,5+Ф1,94=0,5+0,4738=0,9738
Построим график теоретической плотности распределения, то есть ftx и совместим ее с гистограммой, проверяя насколько согласованы две эти кривые.
Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотой, равной отношению pih и называемой плотностью относительных частот wi (эмпирическая плотность).
Строим гистограмму и проводим аппроксимацию, то есть проводим кривую, придерживаясь середины гистограммы
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
