Дана выборка из генеральной совокупности объема. По выборке необходимо выполнить следующие расчеты.
Построить вариационный ряд.
Построить группированную выборку с числом интервалов k=3+10.
Построить гистограмму и полигон частот.
По группированной выборке найти точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения.
Построить доверительные интервалы для математического ожидания с доверительными вероятностями 0,95 и 0,99.
Выбрать один из законов распределения в качестве предполагаемого (теоретического) распределения, используя пункт 3.
Найти параметры теоретического распределения с помощью методов моментов. Построить на одном графике гистограмму, полигон частот и кривую теоретического распределения для найденных параметров.
Проверить гипотезу о том, что выборка имеет выбранное теоретического распределение. Принять уровень значимости α=0,01.
-0,31 0,51 -0,93 0,72 -1,04 0,11 0,05 0,12 0,13 -0,1
-0,24 0,19 -0,15 0,15 -0,18 -0,39 -0,5 0,51 -1,2 0,9
-0,75 0,62 -0,03 0,37 -0,68 -0,55 0,25 1,25 0,19 1,2
-0,15 0,84 -0,17 0,09 -0,85 -0,46 1,14 0,23 -0,1 0,2
-0,07 0,34 -0,46 0,85 -0,84 -0,81 0,43 0,55 0,63 0,9
Решение
Построить вариационный ряд
n=50 – объем выборки.
Записав варианты в возрастающем порядке, получим вариационный ряд
-1,2 -1,04 -0,93 -0,85 -0,84 -0,81 -0,75 -0,68 -0,55 -0,5
-0,46 -0,46 -0,39 -0,31 -0,24 -0,18 -0,17 -0,15 -0,15 -0,1
-0,1 -0,07 -0,03 0,05 0,09 0,11 0,12 0,13 0,15 0,19
0,19 0,2 0,23 0,25 0,34 0,37 0,43 0,51 0,51 0,55
0,62 0,63 0,72 0,84 0,85 0,9 0,9 1,14 1,2 1,25
Построить группированную выборку с числом интервалов k=3+10
Найдем минимальное и максимальное значение выборки
xmin=-1,2; xmax=1,25
Размах варьирования
R=xmax-xmin=1,25--1,2=2,45
Возьмем количество интервалов k=7.
Тогда ширина интервалов
h=Rk=2,457=0,35
Получаем 7 частичных интервалов: [-1,2; -0,85), [-0,85; -0,5), [-0,5; -0,15), [-0,15; 0,2), [0,2; 0,55), [0,55; 0,9), [0,9; 1,25]. Подсчитаем число значений вариант ni, попавших в каждый частичный интервал.
Интервальный вариационный ряд имеет вид
Интервалы [-1,2; -0,85) [-0,85; -0,5) [-0,5; -0,15) [-0,15; 0,2) [0,2; 0,55) [0,55; 0,9) [0,9; 1,25]
ni
3 6 8 14 8 6 5
Построить гистограмму и полигон частот
Для построения гистограммы частот вычислим nih для каждого интервала. Составим таблицу.
Интервалы [-1,2; -0,85) [-0,85; -0,5) [-0,5; -0,15) [-0,15; 0,2) [0,2; 0,55) [0,55; 0,9) [0,9; 1,25]
nih
8,5714 17,1429 22,8571 40 22,8571 17,1429 14,2857
Для построения полигона частот в качестве вариант xi примем середины частичных интервалов
. Например, для первого интервала [-1,2; -0,85) варианта x1=-1,2+-0,852=-1,025. Составим статистический ряд
xi
-1,025 -0,675 -0 0,025 0,375 0,725 1,08
ni
3 6 8 14 8 6 5
По группированной выборке найти точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения.
Найдем точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Cоставим расчетную таблицу.
xi
ni
xini
xi2ni
-1,025 3 -3,075 3,151875
-0,675 6 -4,05 2,73375
-0,325 8 -2,6 0,845
0,025 14 0,35 0,00875
0,375 8 3 1,125
0,725 6 4,35 3,15375
1,075 5 5,375 5,778125
Сумма 50 3,35 16,79625
Выборочная средняя
xв=1nxini=3,3550=0,067
Выборочная дисперсия
Dв=1nxi2ni-xв2=16,7962550-0,0672≈0,3314
Исправленное (несмещенная) среднеквадратическое отклонение
S=nn-1∙Dв=5049∙0,3314≈0,5815
Построить доверительные интервалы для математического ожидания с доверительными вероятностями 0,95 и 0,99.
Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии имеет вид
xв-t γ∙Sn; xв+t γ∙Sn
Находим по таблице распределения Стьюдента по числу степеней свободы n-1=50-1=49 и доверительной вероятности γ=0,95
t γ=2,01
Вычислим границы интервала
0,067-2,01∙0,581550; 0,067+2,01∙0,581550
Доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание с надежностью 0,95 имеет вид
-0,0983; 0,2323
Находим по таблице распределения Стьюдента по числу степеней свободы n-1=50-1=49 и доверительной вероятности γ=0,99
t γ=2,68
Вычислим границы интервала
0,067-2,68∙0,581550; 0,067+2,68∙0,581550
Доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание с надежностью 0,99 имеет вид
-0,1534; 0,2874
Выбрать один из законов распределения в качестве предполагаемого (теоретического) распределения, используя пункт 3.
По виду гистограммы (полигона) выдвигаем гипотезу о нормальном характере теоретического распределения
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
