Дана таблица некоторых эмпирических данных

1. С помощью метода наименьших квадратов найдем параметры аппроксимирующих функций
1.1. Линейная функция
Число «наблюдений» в нашем примере . Коэффициенты и оптимальной функции найдём как решение системы:
Расчёт нужных сумм удобнее оформить в табличном виде:
1 5 9 13 17 21 66
2,0 3,4 4,2 4,6 5,2 5,4 24,8
1 25 81 169 289 441 1006
2 17 37,8 59,8 88,4 113,4 318,4
Таким образом, получаем следующую систему:
Тут можно выразить из одного уравнения и подставить в другое, но на практике системы, скорее всего, не будут так «хороши», и в таких случаях спасает метод Крамера:
Таким образом, искомая аппроксимирующая функция: . Найденная зависимость является прямой (принцип «чем больше – тем больше»), и этот факт сразу выявляется по положительному угловому коэффициенту. Функция сообщает нам о том, что с увеличение некоего показателя на 1 единицу значение зависимого показателя уменьшается в среднем на 0,16 единиц.
1.2. Степенная функция
Степенная зависимость , приводится к линейному виду путем логарифмирования:
Вводим новые переменные:
, ,
Сводим зависимость к линейной:
Перестраиваем табличную часть:
0 1,61 2,20 2,56 2,83 3,04
0,69 1,22 1,44 1,53 1,65 1,69
По этим данным методом наименьших квадратов подберем аппроксимирующую линейную функцию .
Система уравнений имеет вид:
Расчёт нужных сумм оформим в табличном виде:
0,00 1,61 2,20 2,56 2,83 3,04 12,25
0,69 1,22 1,44 1,53 1,65 1,69 8,21
0,00 2,59 4,83 6,58 8,03 9,27 31,29
0,00 1,97 3,15 3,91 4,67 5,13 18,84
Таким образом, получаем следующую систему:
Решим систему методом Крамера:
Таким образом, искомая аппроксимирующая функция: или .
1.3 . Экспоненциальная функция
Между и экспоненциальная зависимость, приводится к линейному виду путем логарифмирования:
Вводим новые переменные:
,
Сводим зависимость к линейной:
Перестраиваем табличную часть:
1 5 9 13 17 21
0,69 1,22 1,44 1,53 1,65 1,69
По этим данным методом наименьших квадратов подберем аппроксимирующую линейную функцию .
Система уравнений имеет вид:
Расчёт нужных сумм оформим в табличном виде:
1 5 9 13 17 21 66
0,69 1,22 1,44 1,53 1,65 1,69 8,22
1 25 81 169 289 441 1006
0,69 6,1 12,96 19,89 28,05 35,49 103,18
Таким образом, получаем следующую систему:
Решим систему методом Крамера:
Таким образом, искомая аппроксимирующая функция: или
2