Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

1) Общее решение системы с помощью характеристического уравнения.
a) Продифференцируем первое уравнение, затем подставим y'(t) и y(t):
x'(t)=5x+yy'(t)=-3x+9y
x''t=5x't+y't=5x't-3x+9y
y=x't-5x (1)
x''t=5x't-3x+9x't-5x
x''t-14x't+48x=0. (2)
b) Найдем корни соответствующего характеристического уравнения:
λ2-14λ+48=0
λ=-b2±b22-aca=7±72-48=7±1
λ1=6, λ2=8
c) Общее решение уравнения (2) имеет вид:
xt=C1e6t+C2e8t.
d) Теперь вычислим производную x'(t) и подставим выражения для x(t) и x'(t) в уравнение (1):
x't=6C1e6t+8C2e8t
y=x't-5x=6C1e6t+8C2e8t-5C1e6t+C2e8t
y=C1e6t+3C2e8t
e) В результате получаем окончательное решение в следующем виде:
xt=C1e6t+C2e8tyt=C1e6t+3C2e8t.
2) Матричная форма системы и ее решение:
a) В матричной форме сиситема записывается следующим образом:
x'=5x+yy'=-3x+9y
x'y'=51-39∙xy
b) Получаем характеристическое уравнение:
5-λ1-39-λ=0
5-λ9-λ+3=0
λ2-14λ+48=0
λ1=6, λ2=8.
c) Ищем решение в виде:
xy=a1a2b1b2∙C1eλ1tC2eλ2t
Составляем систему для вычисления a1b1:
5-λ11-39-λ1∙a1b1=0
-11-33∙a1b1=0 или -a1+b1=0-3a1+3b1
Положив a1=1, получим b1=1.
Составляем систему для вычисления a2b2:
5-λ21-39-λ2∙a2b2=0
-31-31∙a2b2=0 или -3a2+b2=0-3a2+b2=0
Положив a2=1, получим b2=3.
d) Получаем решение в матричной форме:
xy=1113∙C1e6tC2e8t.