Дана плотность распределения вероятностей случайной величины f(x)

А) Найдем значение параметра а.
Функция плотности распределения вероятности обладает свойством:

В данном случае:
-ππacosx2dx=1 ⇒ a∙-ππcosx2dx=1 ⇒ a=1-ππcosx2dx .
-ππcosx2dx=2sinx2π-π=2sinπ2-2sin-π2=2∙1-2∙-1=2+2=4.
Таким образом:
a=14.
Функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
fx=0 при x<-π,14cosx2 при -π≤x≤π,0 при x>π.
б) Найдем функцию распределения F(x):
Если x<-π то fx=0 ⇒ Fx=-∞x0dx=0.
Если -π≤x≤π то fx=14cosx2 ⇒ Fx=-∞-π0dx+14-πxcosx2dx=
=0+12sinx2x-π=sinx2-sin-π22=sinx2+12=12sinx2+1.
Если x>π то fx=0 ⇒ Fx=-∞-π0dx+14-ππcosx2dx+πx0dx=
=0+12sinx2π-π+0=12sinπ2-sin-π2=121+1=1.
Fx=0 при x<-π,12sinx2+1 при -π≤x≤π.1 при x>π.
в) Найдем математическое ожидание M(X);
MX=-∞+∞xf(x)dx=-ππx∙14сosx2dx=14-ππx∙cosx2dx=
=интегрируем по частям по формуле:fdg=fg-gdff=x ⇒df=dx,dg=cosx2dx ⇒ g=cosx2dx=2sin(x2)=
=14x∙2sinx2π-π-2-ππsinx2dx=12π∙2sinπ2+π∙2sin-π2+cosx2π-π=
=12π∙1-π∙1+cosπ2-cos-π2=0.
г) Найдем дисперсию D(X).
DX=-∞+∞x2f(x)dx-MX2=-ππx2∙14cosx2dx-02=
=14-ππx2cosx2dx=интегрируем по частямf=x2 ⇒df=2xdxdg=cosx2dx ⇒ g=2sinx2=
=142x2sinx2π-π--ππxsinx2dx=интегрируем по частямf=x ⇒df=dxdg=sinx2dx ⇒ g=-2cosx2=
=12π2sinπ2--π2sin-π2+2xcosx2π-π-4-ππcosx2dx=
=12π2+π2+2πcosπ2--πcos-π2-4sinx2π-π=
=π2+0+0-4sinπ2-sin-π2=π2-4-4=π2-8=3,142-8≈1,86 .
д)Найдем вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (-π4; 3π4).
P-π4 <x< 3π4=F3π4-F-π4=12sin3π8+1-12sin-π8+1=

≈0,96195-0,30865≈0,6533.