Дана кривая 2-го порядка 5x2+9y2-30x+18y+9=0

1) Приведем уравнение кривой к каноническому виду:
5x2+9y2-30x+18y+9=0;
(5x2-30x)+(9y2+18y)+9=0;
5x2-6x+9-45+9y2+2y+1-9+9=0;
5x-32+9y+12=45;
5x-3245+9y+1245=4545;
x-329+y+125=1;
x-3232+y+1252=1. (1)
Кривая является эллипсом с центром в точке Ox0;y0=3;-1 и полуосями a=3 и b=5.
2) Фокальное расстояние и эксцентриситет:
c=a2-b2=9-5=2;
e=ca=23.
3) Координаты вершин:
A1=x0-a;y0=3-3;-1=0;-1;
A2=x0+a;y0=3+3;-1=6;-1;
B1=x0;y0-b=3;-1-5;
B2=x0;y0+b=3;-1+5.
4) Координаты фокусов:
F1=x0-c;y0=3-2;-1=1;-1;
F2=x0+c;y0=3+2;-1=5;-1.
5) Уравнения директрис:
D1: x=x0-ae=3-323=3-92=-1,5;
D2: x=x0+ae=3+323=3+92=7,5.
6) Уравнение кривой в полярной системе координат . Подставляя в каноническое уравнение эллипса x=ρcosφ и y=ρsinφ, получим:
x-x02a2+y-y02b2=1; (1)
ρcosφ-x02a2+ρsinφ-y02b2=1;
b2(ρ2cos2φ-2x0ρcosφ+x02)+a2ρ2sin2φ-2y0ρsinφ+y02=a2b2;
b2cos2φ+a2sin2φρ2-2b2x0cosφ+a2y0sinφρ+b2x02+a2y02-a2b2=0.
Решим квадратное уравнение относительно ρ:
D4=B22-AC=b2x0cosφ+a2y0sinφ2-b2cos2φ+a2sin2φb2x02+a2y02-a2b2=
=(b4x02cos2φ+2a2b2x0y0cosφsinφ+a4y02sin2φ)-
-b4x02cos2φ+a2b2x02sin2φ+a2b2y02cos2φ+a4y02sin2φ+a2b2b2cos2φ+a2sin2φ=
=2a2b2x0y0cosφsinφ-a2b2x02sin2φ-a2b2y02cos2φ+a2b2b2cos2φ+a2sin2φ=
=a2b2a2sin2φ+b2cos2φ-x0sinφ-y0cosφ2.
ρ=-B2±D4A;
ρ=a2y0sinφ+b2x0cosφ±aba2sin2φ+b2cos2φ-x0sinφ-y0cosφ2a2sin2φ+b2cos2φ