Дана функция трёх переменных w=f(x y z) и точка M0x0

Найдём градиент данной функции, для этого вычислим частные производные:
∂f∂x=x2+y2+z2+6y+4x-8x'=2x+4;
∂f∂y=x2+y2+z2+6y+4x-8y'=2y+6;
∂f∂z=x2+y2+z2+6y+4x-8z'=2z.
Тогда
grad f=2x+4;2y+6;2z.
grad fM0 =-2+4;2+6;4=2;8;4
Производную по направлению ищем по формуле:
∂f∂l=∂f∂x∙cosβ1+∂f∂y∙cosβ2+∂f∂z∙cosβ3.
l=OM0
Частные производные в точке M0 соответственно равны:
∂f∂xM0=2x+4M0(-1,1,2)=2;
∂f∂yM0=2y+6M0-1,1,2=8;
∂f∂yM0=2zM0-1,1,2=4;
Найдём вектор l0=cosβ1∙i+∙cosβ2∙j+cosβ3∙k, то есть
l0=OM0OM0;
Так как OM0=-1-0;1-0;2-0=-1,1,2
OM0=-12+12+22=6,
то получаем
l0=-16;16;26.
Таким образом,
∂f∂lM0=-26+86+86=146.
Уравнение касательной плоскости к поверхности fx,y,z=0 в точке M0-1,1,2:
fx'x0,y0,z0x-x0+fy'x0,y0,z0y-y0+fz'x0,y0,z0z-z0=0