Дана балка на двух опорах, на которую действуют: равномерно распределенная нагрузка q = 1,0 кН/м (4-8 вниз), сосредоточенная сила Р = 2,0 кН (6 вниз), и момент М = 10 кН⋅м (1 против ЧС) (рисунок П2.1). Длина участков l1 = 0,4 м, l2 = 0,1⋅0,4 = 0,04 м, l3 = 1,0⋅0,4 = 0,4 м, l4 = 0,2⋅0,4 = 0,08 м, l5 = 0,6⋅0,4 = 0,24 м, l6 = 1,1⋅0,4 = 0,44 м, l7 = 1,6⋅0,4 = 0,64 м. Соотношение размеров прямоугольного сечения h/b = 1,0. Механические характеристики материала (Ст 10): [σ] = 205 МПа, Е = 2∙105 МПа.
Требуется:
Определить опорные реакции.
Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
Из условия прочности подобрать номера швеллера и двутавра, а также определить диаметр круга и размеры прямоугольника.
Выбрать профиль балки с наименьшей площадью поперечного сечения.
Для выбранной балки составить примерное дифференциальное уравнение упругой линии, построить эпюры углов поворота сечений и прогибов.
Решение
Определяем реакции в опорах.
MAi=0,
M-ql4+l5+l6+l7l1+l2+l3+l4+l5+l6+l72-Pl1+l2+l3+l4+l5+RBl1+l2+l3+l4=0
RB=-M+ql4+l5+l6+l7l1+l2+l3+l4+l5+l6+l72+Pl1+l2+l3+l4+l5l1+l2+l3+l4=
=-10+1⋅1,40,84+1,42+2⋅1,160,92=-6 кН
MBi=0,
-RA⋅l1+l2+l3+l4+M+ql422-ql5+l6+l722-Pl5=0
RA=M+ql422-ql5+l6+l722-Pl5l1+l2+l3+l4=
=10+1⋅0,0822-1⋅1,3222-2⋅0,240,92=9,4 кН
Проверка:
Pyi=0RA-P-ql4+l5+l6+l7+RB=09,4-2-1,0⋅1,4-6=0;0≡0,
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1<l1+l2+l3
Qy1=RA=9,4 кН;
Mz1=M-RAx1; Mz1=M=10 кН⋅м x1=0;Mz1=10-9,4⋅0,84=2,1 кН⋅м x1=0,84 м
2-й участок 0≤x2<l4
Qy2=RA-qx2
Qy2=RA=9,4 кН x2=0;
Qy2=RA-ql4=9,4-1,0⋅0,08=9,32 кН x2=0,08 м;
Mz2=M-RA(l1+l2+l3+x3)+qx222;
Mz2=M-RA(l1+l2+l3)=10-9,4⋅0,84=2,1 кН⋅м x2=0;
Mz2=M-RAl1+l2+l3+l4+ql422=10-9,4⋅0,92+1,0⋅0,0822=1,36 кН⋅м (x2=l4)
3-й участок 0≤x3<l6+l7
Qy3=qx3;
Qy3=0 x3=0;
Qy3=ql6+l7=1,0⋅1,08=1,08 кН;x3=l6+l7
Mz3=-qx322;
Mz3=0 x3=0;
Mz3=-ql6+l722=-1,0⋅1,0822=-0,58 кН⋅м x3=l6+l7
4-й участок 0≤x4<l5
Qy4=ql6+l7+x4+P;Qy4=ql6+l7+P=1,0⋅1,08+2=3,08 кН x4=0; Qy4=ql6+l7+l5+P=1,0⋅1,32+2=3,32 кН x4=l5;
Mz4=-ql6+l7+x422-Px4;
Mz4=-ql6+l722=-1,0⋅1,0822=-0,58 кН⋅м (x4=0);
Mz4=-ql6+l7+l522-P⋅l5=-1,0⋅1,3222-2⋅0,24=-0,71 кН⋅м (x4=l5);
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок П2.1).
Составляем условие прочности.
σmax=Mz maxWz≤σ,
Так как Mz max=10 кН⋅м, то
Wz≥10⋅103205⋅106=48,8⋅10-6 м3=48,8 см3
По справочным данным стали прокатной подбираем:
Двутавр № 12 (Wz= 58,4 см3, Fд= 14,7 см2);
Швеллер № 12 (Wz= 50,6 см3, Fш= 13,3 см2).
Подбираем размеры круга и прямоугольника.
Для круга
Wz=πd332
тогда
d=332Wzπ=332⋅48,8π=7,92 см
Площадь круга:
Fк=πd24=π⋅7,9224=49,28 см2
Для прямоугольника Wz=bh26=b36, поэтому
b=36Wz=36⋅49,28=6,66 см
Определим площадь:
Fп=bh=b2=44,4 см2
Из четырех сечений наиболее выгодным является швеллер (Wz = 50,6 см3, Fд = 13,3 см2, Iz=304 см4), как обладающий наименьшей площадью.
Определяем углы поворота сечений и прогибы.
Запишем обобщенную функцию изгибающего момента Мz и подставим ее в примерное дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Mz=RAx-Mx0⟵1-qx-0,8422⟵2+RBx-0,92⟵3-P(x-1,16)⟵4
d2ydx2=1EIzRAx-Mx0⟵1-qx-0,8422⟵2+RBx-0,92⟵3-P(x-1,16)⟵4
Последнее выражение проинтегрируем дважды без раскрытия скобок:
dydx=θ=1EIzC+RAx22-Mx⟵1-qx-0,8436⟵2+RBx-0,9222⟵3-Px-1,1622⟵4
y=1EIzCx+D+RAx36-Mx22⟵1-qx-0,84424⟵2+RBx-0,9236⟵3-Px-1,1636⟵4
Постоянные интегрирования C и D найдем из граничных условий:
при х =0; у = 0 (шарнирно-подвижная опора в начале 1-го участка) и при х = 0,92 м; у = 0 (шарнирно-неподвижная опора в начале 3-го участка)
Cx+D=0;Cx+D+RAx36-Mx22⟵1-qx-0,84424⟵2=0
C⋅0+D=0;C⋅0,92+D+9,4⋅0,9236-10⋅0,9222-1,0⋅0,92-0,84424=0
D=0;
C=3,274;
Для первого участка (0≤x<0,84 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-Mx;θ=CEIz=3,27 x=0;θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅0,8422-10⋅0,84=-1,81EIz (x=0,84 м);
y=1EIzCx+D+RAx36-Mx22;
y=1EIz⋅D=0EIz=0 x=0;
y=1EIz3,27⋅0,84+0+9,4⋅0,8436-10⋅0,8422=0,15EIz (x=0,84 м)
Для второго участка (0,84≤x<0,92 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-Mx-qx-0,8436;
θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅0,8422-10⋅0,84=-1,81EIz (x=0,84 м);
θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅0,9222-10⋅0,92-1,00,92-0,8436=-1,95EIz (x=0,92 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx22-qx-0,84424;
y=1EIz3,27⋅0,84+0+9,4⋅0,8436-10⋅0,8422=0,15EIz (x=0,84 м)
y=1EIz3,27⋅0,92+0+9,4⋅0,9236-10⋅0,9222-1⋅0,92-0,84424=0 (x=0,92 м)
Для третьего участка (0,92≤x<1,16 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-Mx-qx-0,8436+RBx-0,9222;
θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅0,9222-10⋅0,92-1,00,92-0,8436=-1,95EIz (x=0,92 м);
θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅1,1622-10⋅1,16-1,01,16-0,8436+-61,16-0,9222=-2,18EIz (x=1,16 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx22-qx-0,84424+RBx-0,9236;
y=1EIz3,27⋅0,92+0+9,4⋅0,9236-10⋅0,9222-1⋅0,92-0,84424=0 (x=0,92 м)
y=1EIz3,27⋅1,16+0+9,4⋅1,1636-10⋅1,1622-1⋅1,16-0,84424-61,16-0,9236=-0,5EIz (x=1,16 м)
Для четвертого участка (1,16≤x<2,24 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-Mx-qx-0,8436+RBx-0,9222-Px-1,1622;
θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅1,1622-10⋅1,16-1,01,16-0,8436+-61,16-0,9222=-2,18EIz (x=1,16 м);
θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅2,2422-10⋅2,24-1,02,24-0,8436+-62,24-0,9222-22,24-1,1622=-2,39EIz (x=2,24 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx22-qx-0,84424+RBx-0,9236-Px-1,1636;
y=1EIz3,27⋅1,16+0+9,4⋅1,1636-10⋅1,1622-1⋅1,16-0,84424-61,16-0,9236=-0,5EIz (x=1,16 м)
y=1EIz3,27⋅2,24+0+9,4⋅2,2436-10⋅2,2422-1⋅2,24-0,84424-62,24-0,9236-22,24-1,1636=-3,03EIz (x=2,24 м)