Дана балка на двух опорах, на которую действуют: равномерно распределенная нагрузка q = 1,1 кН/м (3-7 вниз), сосредоточенная сила Р = 2,2 кН (6 вниз), и момент М = 10 кН⋅м (2 против ЧС) (рисунок П2.1). Длина участков l1 = 0,6 м, l2 = 0,1⋅0,6 = 0,06 м, l3 = 0,9⋅0,6 = 0,36 м, l4 = 0,2⋅0,6 = 0,12 м, l5 = 0,6⋅0,6 = 0,36 м, l6 = 1,1⋅0,6 = 0,66 м, l7 = 2,0⋅0,6 = 1,2 м. Соотношение размеров прямоугольного сечения h/b = 1,0. Механические характеристики материала (Ст 10): [σ] = 205 МПа, Е = 2∙105 МПа.
Требуется:
Определить опорные реакции.
Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
Из условия прочности подобрать номера швеллера и двутавра, а также определить диаметр круга и размеры прямоугольника.
Выбрать профиль балки с наименьшей площадью поперечного сечения.
Для выбранной балки составить примерное дифференциальное уравнение упругой линии, построить эпюры углов поворота сечений и прогибов.
Решение
Определяем реакции в опорах.
MAi=0,
M-q⋅1,522+RB⋅1,14-P⋅1,5=0
RB=-M+q⋅1,522+P⋅1,51,14=
=-10+1,1⋅1,522+2,2⋅1,51,14=-3,84 кН
MBi=0,
-RA⋅1,14+M+q⋅0,4822-q⋅1,0222-P⋅0,36=0
RA=M+q⋅0,4822-q⋅1,0222-P⋅0,361,14=
=10+1,1⋅0,4822-1,1⋅1,0222-2,2⋅0,361,14=7,69 кН
Проверка:
Pyi=0RA-P-q⋅1,5+RB=07,69-2,2-1,1⋅1,5-3,84=0;0≡0,
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1≤0,6 м
Qy1=RA=7,69 кН;
Mz1=RAx1; Mz1=0 x1=0;Mz1=7,69⋅0,6=4,61 кН⋅м x1=0,6 м
2-й участок 0≤x2≤0,06 м
Qy2=RA=7,69 кН x2=0;
Mz2=-M+RA(0,6+x2);
Mz2=-M+RA⋅0,6=-10+7,69⋅0,6=-5,39 кН⋅м x2=0;
Mz2=-M+RA0,6+0,06=-10+7,69⋅0,66=-4,93 кН⋅м x2=0,06 м;
3-й участок 0≤x3≤0,48 м
Qy3=RA-qx3;
Qy3=RA=7,69 кН x3=0;
Qy3=RA-q⋅0,48=7,69-1,1⋅0,48=7,16 кН;x3=0,48 м
Mz3=-M+RA0,66+x3-qx322;
Mz3=-M+RA⋅0,66=-10+7,69⋅0,66=-5,39 кН⋅м x3=0;
Mz3=-M+RA⋅0,66+0,48-q⋅0,4822=-10+7,69⋅1,14-1,1⋅0,4822=-1,36 кН⋅м x3=0,48 м
4-й участок 0≤x4<0,66 м
Qy4=qx4; Qy4=0 x4=0;Qy4=qx4=1,1⋅0,66=0,73 кН x4=0,66 м
Mz4=-qx422;
Mz4=0 (x4=0);
Mz4=-qx422=-1,1⋅0,6622=-0,24 кН⋅м (x4=0,66 м);
5-й участок 0≤x5<0,36 м
Qy5=q0,66+x5+P; Qy5=1,1⋅0,66+2,2=2,93 кН x5=0;Qy5=q0,66+0,36+P=1,1⋅1,02+2,2=3,32 кН⋅м x5=0,36 м
Mz5=-q0,66+x522-Px5;
Mz5=-q⋅0,6622=-1,1⋅0,6622=-0,24 кН⋅м (x5=0);
Mz4=-q⋅1,0222-P⋅0,36=-1,36 кН⋅м (x5=0,36 м);
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок П2.1).
Составляем условие прочности.
σmax=Mz maxWz≤σ,
Так как Mz max=5,39 кН⋅м, то
Wz≥5,39⋅103205⋅106=26,3⋅10-6 м3=26,3 см3
По справочным данным стали прокатной подбираем:
Двутавр № 10 (Wz= 39,7 см3, Fд= 12,0 см2);
Швеллер № 10 (Wz= 34,8 см3, Fш= 10,9 см2).
Подбираем размеры круга и прямоугольника.
Для круга
Wz=πd332
тогда
d=332Wzπ=332⋅26,3π=6,45 см
Площадь круга:
Fк=πd24=π⋅6,4524=32,66 см2
Для прямоугольника Wz=bh26=b⋅b26=b36, поэтому
b=36Wz=36⋅26,3=5,4 см
Определим площадь:
Fп=bh=b2=29,2 см2
Из четырех сечений наиболее выгодным является двутавр (Wz = 39,7 см3, Fд = 12,0 см2, Iz=198 см4), как обладающий наименьшей площадью.
Определяем углы поворота сечений и прогибы.
Запишем обобщенную функцию изгибающего момента Мz и подставим ее в примерное дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Mz=RAx⟵1-M(x-0,6)0⟵2-qx-0,6622⟵3+RBx-1,14⟵4-Px-1,5⟵5+qx-2,1622⟵6
d2ydx2=1EIzRAx⟵1-M(x-0,6)0⟵2-qx-0,6622⟵3+RBx-1,14⟵4-Px-1,5⟵5+qx-2,1622⟵6
Последнее выражение проинтегрируем дважды без раскрытия скобок:
dydx=θ=1EIzC+RAx22⟵1-M(x-0,6)⟵2-qx-0,6636⟵3+RBx-1,1422⟵4-Px-1,522⟵5+qx-2,1636⟵6
y=1EIzCx+D+RAx36⟵1-Mx-0,622⟵2-qx-0,66424⟵3+RBx-1,1436⟵4-Px-1,536⟵5+qx-2,1636⟵6
Постоянные интегрирования C и D найдем из граничных условий:
при х =0; у = 0 (шарнирно-подвижная опора в начале 1-го участка) и при х = 1,14 м; у = 0 (шарнирно-неподвижная опора в начале 4-го участка)
Cx+D=0;Cx+D+RAx36⟵1-Mx-0,622⟵2-qx-0,66424⟵3=0
C⋅0+D=0;C⋅1,14+D+7,69⋅1,1436-10⋅1,14-0,622-1,1⋅1,14-0,66424=0
D=0;
C=-0,385;
Для первого участка (0≤x<0,6 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22;θ=CEIz=-0,38EIz x=0;θ=1EIz⋅-0,38+7,69⋅0,622=1EIz (x=0,6 м);
y=1EIzCx+D+RAx36;
y=1EIz⋅D=0EIz=0 x=0;
y=1EIz-0,38⋅0,6+7,69⋅0,636=0,05EIz (x=0,6 м)
Для второго участка (0,6≤x<0,66 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-M(x-0,6);
θ=1EIz⋅-0,38+7,69⋅0,622=1EIz (x=0,6 м);
θ=1EIz⋅-0,38+7,69⋅0,6622-10(0,66-0,6)=0,69EIz (x=0,66 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx-0,622;
y=1EIz-0,38⋅0,6+7,69⋅0,636=0,05EIz (x=0,6 м)
y=1EIz-0,38⋅0,66+7,69⋅0,6636-100,66-0,622=0,1EIz (x=0,66 м)
Для третьего участка (0,66≤x<1,14 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-M(x-0,6)-qx-0,6636;
θ=1EIz⋅-0,38+7,69⋅0,6622-10(0,66-0,6)=0,69EIz (x=0,66 м);
θ=1EIz⋅-0,38+7,69⋅1,1422-101,14-0,6-1,1⋅1,14-0,6636=-0,81EIz (x=1,14 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx-0,622-qx-0,66424;
y=1EIz-0,38⋅0,66+7,69⋅0,6636-100,66-0,622=0,1EIz (x=0,66 м)
y=1EIz-0,38⋅1,14+7,69⋅1,1436-101,14-0,622-1,11,14-0,66424=0 (x=1,14 м)
Для четвертого участка (1,14≤x<1,5 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-M(x-0,6)-qx-0,6636+RBx-1,1422;
θ=1EIz⋅-0,38+7,69⋅1,1422-101,14-0,6-1,1⋅1,14-0,6636=-0,81EIz (x=1,14 м);
θ=1EIz⋅-0,38+7,69⋅1,522-101,5-0,6-1,1⋅1,5-0,6636+(-3,84)1,5-1,1422=-1,09EIz (x=1,5 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx-0,622-qx-0,66424+RBx-1,1436;
y=1EIz-0,38⋅1,14+7,69⋅1,1436-101,14-0,622-1,11,14-0,66424=0 (x=1,14 м)
y=1EIz-0,38⋅1,5+7,69⋅1,536-101,5-0,622-1,11,5-0,66424+(-3,84)1,5-1,1436=-0,35EIz (x=1,5 м)
Для пятого участка (1,5≤x<2,16 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-M(x-0,6)-qx-0,6636+RBx-1,1422-Px-1,522;
θ=1EIz⋅-0,38+7,69⋅1,522-101,5-0,6-1,1⋅1,5-0,6636+(-3,84)1,5-1,1422=-1,09EIz (x=1,5 м);
θ=1EIz⋅-0,38+7,69⋅2,1622-102,16-0,6-1,1⋅2,16-0,6636+-3,842,16-1,1422-2,2⋅2,16-1,522=-1,14EIz (x=2,16 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx-0,622-qx-0,66424+RBx-1,1436-Px-1,536;
y=1EIz-0,38⋅1,5+7,69⋅1,536-101,5-0,622-1,11,5-0,66424+(-3,84)1,5-1,1436=-0,35EIz (x=1,5 м)
y=1EIz-0,38⋅2,16+7,69⋅2,1636-102,16-0,622-1,12,16-0,66424+(-3,84)2,16-1,1436-2,22,16-1,536=-0,99EIz (x=2,16 м)
Для шестого участка (2,16≤x<3,36 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-M(x-0,6)-qx-0,6636+RBx-1,1422-Px-1,522+qx-2,1636;
θ=1EIz⋅-0,38+7,69⋅2,1622-102,16-0,6-1,1⋅2,16-0,6636+-3,842,16-1,1422-2,2⋅2,16-1,522=-1,14EIz (x=2,16 м);
θ=1EIz⋅-0,38+7,69⋅3,3622-103,36-0,6-1,1⋅3,36-0,6636+-3,843,36-1,1422-2,2⋅3,36-1,522+1,1⋅3,36-2,1636=-1,14EIz (x=3,36 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx-0,622-qx-0,66424+RBx-1,1436-Px-1,536+qx-2,1636;
y=1EIz-0,38⋅3,36+7,69⋅3,3636-103,36-0,622-1,13,36-0,66424+-3,843,36-1,1436-2,23,36-1,536+1,13,36-2,16424=-2,47EIz (x=3,36 м)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
