Дана система линейных уравнений. Доказать её совместность и решить тремя способами:
1) методом Гаусса;
2) методом Крамера;
3) матричным методом
x1+2x2+2x3=33x1+3x2-x3=1x1-4x2-2x3=7
Решение
Чтобы доказать совместность системы, воспользуемся теоремой Кронекера – Капелли, составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований найдём ранги матриц:
12233-11-4-2317
Умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй строке:
1220-3-71-4-23-87
Умножим первую строку матрицы на (-1) и прибавим к третьей строке:
1220-3-70-6-43-84
Умножим вторую строку матрицы на (-2) и прибавим к третьей строке:
1220-3-700103-820
Получили, что ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы и равен 3. Значит, система совместна по теореме Кронекера – Капелли.
1) Решим данную систему методом Гаусса:
Cоставим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований, приведём матрицу к треугольному виду, то есть сделаем прямой ход метода Гаусса:
12233-11-4-2317
Умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй строке:
1220-3-71-4-23-87
Умножим первую строку матрицы на (-1) и прибавим к третьей строке:
1220-3-70-6-43-84
Умножим вторую строку матрицы на (-2) и прибавим к третьей строке:
1220-3-700103-820
Прямой ход метода Гаусса завершён, теперь сделаем обратный ход:
10x3=20
x3=2010=2
-3x2-7*2=-8
-3x2=-8+14=6
x2=6-3=-2
x1+2*-2+2*2=3
x1-4+4=3
x1=3
Тогда решение системы выглядит так:
x1=3;x2=-2;x3=2
2) Решим данную систему по методу Крамера, сначала найдём определитель исходной матрицы:
∆=12233-11-4-2=1*3*-2+2*-1*1+2*3*-4-1*3*2--4*-1*1--2*3*2=-6-2-24-6-4+12=-30
Так как данный определитель не равен нулю, мы можем решить данную систему по методу Крамера
. Решение найдём по следующим формулам:
xi=∆i∆, i=1,2,3
Найдём требуемые определители:
∆1=32213-17-4-2=3*3*-2+2*-1*7+2*1*-4-7*3*2--4*-1*3--2*1*2=-18-14-8-42-12+4=-90
∆2=13231-117-2=1*1*-2+3*-1*1+2*3*7-1*1*2-7*-1*1--2*3*3=-2-3+42-2+7+18=60
∆3=1233311-47=1*3*7+2*1*1+3*3*-4-1*3*3--4*1*1-7*3*2=21+2-36-9+4-42=-60
Тогда решение системы будет следующим:
x1=-90-30=3
x2=60-30=-2
x3=-60-30=2
3) Решение матричным методом будем находить по следующей формуле:
X=A-1*B
В данной формуле A-1 это обратная матрица, которая находится по следующей формуле:
A-1=1A*AijT
Найдём определитель исходной матрицы:
A=12233-11-4-2=1*3*-2+2*-1*1+2*3*-4-1*3*2--4*-1*1--2*3*2=-6-2-24-6-4+12=-30
В данной формуле нам также неизвестна транспонированная матрица алгебраических дополнений, поэтому найдём все соответствующие алгебраические дополнения:
A11=-11+1*3-1-4-2=3*-2--4*-1=-6-4=-10
A12=-11+2*3-11-2=-1*3*-2-1*-1=-1*-6+1=-1*-5=5
A13=-11+3*331-4=3*-4-1*3=-12-3=-15
A21=-12+1*22-4-2=-1*2*-2--4*2=-1*-4+8=-1*4=-4
A22=-12+2*121-2=1*-2-1*2=-2-2=-4
A23=-12+3*121-4=-1*1*-4-1*2=-1*-4-2=-1*-6=6
A31=-13+1*223-1=2*-1-3*2=-2-6=-8
A32=-13+2*123-1=-1*1*-1-3*2=-1*-1-6=-1*-7=7
A33=-13+3*1233=1*3-3*2=3-6=-3
Получилась следующая матрица алгебраических дополнений:
Aij=-105-15-4-46-87-3
Транспонируем данную матрицу, получим:
(Aij)T=-10-4-85-47-156-3
Найдём искомую обратную матрицу, подставив полученные значения в выше приведённую формулу:
A-1=-130*-10-4-85-47-156-3=13215415-16215-73012-15110
Теперь найдём решение данной системы уравнений:
X=A-1*B=13215415-16215-73012-15110*317=13*3+215*1+415*7-16*3+215*1-730*712*3-15*1+110*7=1+215+2815-12+215-493032-15+710=3-22
Ответ: (3;-2;2)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
