Дана плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины 𝞷

Найдём константу из условия нормировки – интеграл по всей плотности равен единице, то есть:
-∞∞fξxdx=1
Тогда:
03Cx+4dx=C*x22+4x|03=C*92+12=C*92+242=C*332=1
C=1332=1*233=233
Найдём функцию распределения случайной величины 𝞷:
Fξx=-∞xfξxdx
Fξx=-∞00dx=0, при x<0
Fξx=0x233*x+4dx=x233+8x33, при 0≤x≤3
Fξx=1, при x>3
Тогда функция распределения окончательно выглядит так:
Fξx=0, при x<0x233+8x33, при 0≤x≤31, при x>3
Найдём заданную вероятность, используя функцию распределения случайной величины:
Pξ∈1;4=Fξ4-Fξ1=1-133+833=1-933=2433=811
Используя функцию плотности, находим математическое ожидание и дисперсию случайной величины 𝞷:
Mξ=23303x*x+4dx=23303x2+4xdx=233*x33+2x2|03=233*9+18=233*27=5433=1811
Dξ=23303x2*x+4dx-18112=23303x3+4x2dx-324121=233*x44+4x33|03-324121=233*814+36-324121=233*2254-324121=177242