Дана матрица линейного оператора A в стандартном базисе e1

Найдем матрицу линейного оператора A2+3A в базисе e1, e2, e3.
Сначала найдем квадрат матрицы линейного оператора A:
A2=-340-8917-8-22=-340-8917-8-2-340-8917-8-2=
=-3∙-3+4∙-8+0∙7-3∙4+4∙9+0∙-8-3∙0+4∙1+0∙-2-8∙-3+9∙-8+1∙7-8∙4+9∙9+1∙-8-8∙0+9∙1+1∙-27∙-3-8∙-8-2∙77∙4-8∙9-2∙-87∙0-8∙1-2∙-2=
=9-32+0-12+36+00+4+024-72+7-32+81-80+9-2-21+64-1428-72+160-8+4=-23244-4141729-28-4
Далее найдем утроенную матрицу:
3A=3∙-340-8917-8-2=-9120-2427321-24-6
Теперь можем найти матрицу линейного оператора A2+3A в базисе e1, e2, e3:
A2+3A=-23244-4141729-28-4+-9120-2427321-24-6=-32364-65681050-52-10
2) Найдем матрицу оператора A в базисе a1, a2, a3.
Итак, матрица находится по формуле
A'=T-1AT
где T=-1-10-1-11-10-1
Найдем обратную матрицу T-1. Вычислим определители матрица T:
-1-10-1-11-10-1=-1-1-1+1∙-1-1+0∙-1∙0-
--1-1∙0+-1-1-1+-1∙1∙0=-1+1+0-0-1+0=0--1=1
Вычислим алгебраические дополнения:
T11=-110-1=1; T12=--11-1-1=-2; T13=-1-1-10=-1.
T21=--100-1=-1; T22=-10-1-1=1; T23=--1-1-10=1.
T31=-10-11=-1; T32=--10-11=1; T33=-1-1-1-1=0.
Обратная матрица примет вид:
T-1=1-1-1-211-110
Находим матрицу в новом базисе:
A'=1-1-1-211-110-340-8917-8-2-1-10-1-11-10-1=
=-3+8-74-9+80-1+26-8+7-8+9-80+1-23-8+0-4+9+00+1+0-1-10-1-11-10-1=-2315-7-1-551-1-10-1-11-10-1=
=2-3-12-3+00+3-1-5+7+1-5+7+00-7+15-5-15-5+00+5-1=-2-1232-6-104
3) Найдем собственные значения и соответствующие им собственные векторы оператора A.
Найдем собственные вектора заданного линейного оператора . Число λ есть собственное число (значение) оператора A в том и только в том случае, когда detA-λE=0.
Запишем характеристическое уравнение:
A-λE=-340-8917-8-2-λ100010001=-3-λ40-89-λ17-8-2-λ
detA-λE=-3-λ40-89-λ17-8-2-λ=-3-λ9-λ-2-λ+7∙4∙1+0∙-8∙-8-
-7∙9-λ∙0+-8∙4∙-2-λ+-3-λ∙1∙-8=-λ3+4λ2-λ-6
Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа:
-λ3+4λ2-λ-6=0
λ+1-λ2+5λ-6=0
λ+1=0 →λ1=-1
-λ2+5λ-6=0 →D=25-24=1 →λ2=-5+1-2=2λ3=-5-1-2=3
Следовательно, собственные значения это:
λ1=-1; λ2=2; λ3=3.
Найдем собственные векторы.
Собственный вектор для собственного значения λ1=-1 найдем из системы:
A-λEX=0, X≠0
A+EX=0, X≠0
-3+140-89+117-8-2+1x1x2x3=0
-240-81017-8-1x1x2x3=0
Решим однородную систему уравнений:
-2x1+4x2=0-8x1+10x2+x3=07x1-8x2-x3=0
Решим методом Гаусса