Дана матрица A линейного оператора в стандартном базисе трехмерного евклидова пространства.
1) Найти собственные значения и соответствующие им собственные подпространства данного оператора;
2) Найти ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора;
3) Найти ортогональную матрицу T и диагональную матрицу B, для которой выполняется равенство B=T-1AT;
4) Выяснить, имеет ли уравнение X2=A решение в кольце матриц 3×3 над полем R.
A=416321628-1632-164
Решение
Найдем собственные значения данного оператора.
Запишем характеристическое уравнение:
A-λE=4-λ16321628-λ-1632-164-λ
detA-λE=4-λ16321628-λ-1632-164-λ=4-λ28-λ4-λ+16∙32∙-16+
+16∙32∙-16-32∙28-λ∙32+16∙16∙4-λ+4-λ∙-16∙-16=
=-λ3+36λ2+1296λ-46656
Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа:
1296-λ2λ-36=0 λ1=-36λ2=36
Следовательно, собственные значения это:
λ1=-36; λ2=λ3=36.
Найдем собственные векторы.
Собственный вектор для собственного значения λ1=-36 найдем из системы:
A-λEX=0, X≠0
4--3616321628--36-1632-164--36x1x2x3=0
4+3616321628+36-1632-164+36x1x2x3=0
4016321664-1632-1640x1x2x3=0
Решим однородную систему уравнений:
40x1+16x2+32x3=016x1+64x2-16x3=032x1-16x2+40x3=0
5x1+2x2+4x3=0x1+4x2-x3=04x1-2x2+5x3=0
Вычислим ранг матрицы коэффициентов методом окаймляющих миноров
. Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка M2=5214=20-2=18≠0.
Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка:
52414-14-25=100-8-8-64+10+10=84-84=0
Таким образом, ранг матрицы равен двум.
Выберем в качестве базисного минора – минор M2=5214=18≠0.
Тогда, полагая x3=c, получаем:
5x1+2x2+4c=0x1+4x2-c=05x1+2x2=-4cx1+4x2=c
По правилу Крамера находим x1 и x2:
∆=5214=18; ∆x1=-4c2c4=-18c; ∆x2=5-4c1c=9c.
x1=∆x1∆=-18c18=-c; x2=∆x2∆=9c18=12c=0,5c.
Таким образом, общее решение системы имеет вид: Xc=-c0,5cc
Из общего решения находим фундаментальную систему решений: E=X1=-10,51.
Аналогичным образом, найдем собственный вектор для собственного значения λ2=λ3=36.
Итак, запишем однородную систему уравнений и решим её
-32x1+16x2+32x3=016x1-8x2-16x3=032x1-16x2-32x3=02x1-x2-2x3=02x1-x2-2x3=02x1-x2-2x3=0x1-0,5x2-x3=0
Из оставшегося уравнения выразим x1:
x1=0,5x2+x3
Таким образом, общее решение системы имеет вид: Xx2,x3=0,5x2+x3x2x3
Из общего решения находим фундаментальную систему решений:
E=x20,510+x3101
Пусть x2=1,x3=0, то собственный вектор примет вид v1=0,510
Пусть x2=0,x3=1, то собственный вектор примет вид v1=101
2) Найдем ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора.
Так как корни характеристического уравнения равны λ1=-36; λ2=λ3=36, то матрица линейного оператора в ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов имеет вид:
-360003600036
3) Найдем ортогональную матрицу T и диагональную матрицу B, для которой выполняется равенство B=T-1AT.
Таким образом, количество собственных векторов, соответствующих своим собственным значениям равно их алгебраической кратности, а потому матрица A приводится к диагональному виду
B=-360003600036
Найдем теперь матрицу T, удовлетворяющую соотношению B=T-1AT.
Для этого найдем фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений A-λEX=0 для каждого из λ.
Матрица, составленная из собственных векторов:
T=-10,510,510101
Запишем обратную матрицу:
T-1=-0,440,220,440,220,89-0,220,44-0,220,56
В итоге получаем
-360003600036=-0,440,220,440,220,89-0,220,44-0,220,56416321628-1632-164-10,510,510101
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
