Дана кривая x2-7y2-6xy+2x+26y+57=0

Докажем, что эта кривая – гипербола.
Квадратичную форму Bx,y=x2-7y2-6xy приводим к главным осям. Определяем коэффициенты a11=1, a22=-7, 2a12=-3 и a12=-3. Записываем матрицу квадратичной формы B=1-3-3-7 и находим ее собственные числа. Записываем и решаем характеристическое уравнение матрицы B:
1-λ-3-3-7-λ=0, λ2+6λ-16=0,
λ1=2;λ2=-8.
Так как собственные числа имеют разные знаки, то данное уравнение определяет кривую гиперболического типа.
Находим собственные векторы матрицы B. Для собственного числа λ1=2 составляем систему:
-ξ1-3ξ2=0,-3ξ1-9ξ2=0,
отсюда ξ1=-3ξ2.
Полагаем ξ2=-1, собственный вектор 3,-1, его модуль 10. Получим новый базисный вектор i1=310,-110. По свойству собственных векторов симметрического оператора, второй собственный вектор j1 ортогонален вектору i1. Выберем вектор j1=110,310 таким образом, чтобы базис i1,j1 был правым.
От старого базиса i,j перейдем к новому базису i1,j1 . Новую систему координат обозначим OX1Y1, координаты произвольной точки x1,y1.
Матрица перехода имеет вид:
Q=3/101/10-1/103/10=11031-13, Q-1=QT=3/10-1/101/103/10=1103-113.
С помощью матрицы перехода запишем формулы преобразования координат:
xy=11031-13x1y1, x=3x1+y110,y=-x1+3y110,
x1y1=1103-113xy, x1=3x-y10,y1=x+3y10.
Вычисляем новые коэффициенты линейной формы:
a,b=2, 2611031-13=-210,810.
Уравнение кривой в системе OX1Y1 имеет вид:
2x12-8y12-210x1+810y1+57=0.
Выделяем полные квадраты:
2x12-10x1+1022-5-8y12-10y1+1022+20+57=0,
2x1-1022-8y1-1022=-72,
-x1-102236+y1-10229=1.
Видим, что в полученном уравнении, в отличие от канонического, знак "-" находится при переменной x. Это означает, что мнимая полуось параллельна оси OX, а действительная – оси OY