Дана кривая 8x2+17y2+12xy-28x-46y=43. Бесплатный доступ к решению задач

Дана кривая 8x2+17y2+12xy-28x-46y=43 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Дана кривая 8x2+17y2+12xy-28x-46y=43 10.1. Докажите, что эта кривая — эллипс. 10.2. Найдите координаты центра его симметрии. 10.3. Найдите его большую и малую полуоси. 10.4. Запишите уравнение фокальной оси. 10.5. Постройте данную кривую.

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Приведем квадратичную форму Bx,y=8x2+17y2+12xy к главным осям:
a11=8 a22=17 a12=a21=6
Найдем собственные числа матрицы
8-λ6617-λ=0
136-17λ-8λ+λ2-36=0
λ2-25λ+100=0
D=625-400=225 λ1=25-152=5 λ2=25+152=20
Так как собственные числа имеют одинаковые знаки, то данное уравнение определяет кривую эллиптического типа
Найдем собственные векторы матрицы:
λ1=5
3ξ1+6ξ2=06ξ1+12ξ2=0 => ξ1=-2ξ2
Пусть ξ2=-1 => a1=2;-1 a1=22+(-1)2=5
i1=25;-15
λ1=20
-12ξ1+6ξ2=06ξ1-3ξ2=0 => ξ1=ξ22
Пусть ξ2=2 => a2=1;2 a2=12+22=5
i2=15;25
Перейдем от старого базиса (i,j) перейдем к новому базису (i1,j1) . Матрица перехода имеет вид:
Q=2515-1525=15∙21-12 Q-1=QT=25-151525=15∙2-112
xy=Qx1y1=15∙21-12x1y1 => x=25x1+15y1y=-15x1+25y1
x1y1=Q-1xy=15∙2-112xy => x1=25x-15yy1=15x+25y
Вычислим новые коэффициенты линейной формы:
a,b=-28,-46∙15∙21-12=15∙-56+46,-28-92=-105,-1205
Уравнение кривой в системе O1X1Y1 имеет вид:
5x12+20y12-105x1-1205y1=0
Выделим полные квадраты при переменных:
5x12-25x1+15-1+20y12-65y1+95-36=43
5x1-152+20y1-352=80
x1-15216+y1-3524=1
Полуоси эллипса:
a=4 b=2
Произведем перенос начала координат в точку O2 по формулам:
x2=x1-15y2=y1-35 x1=x2+15y1=y2+35
В новой системе координат O2X2Y2 эллипс имеет канонический вид:
x2216+y224=1
Центр симметрии эллипса находится в точке с координатами: O2(0;0) или
x1=15 y1=35
x=25∙15+15∙35y=-15∙15+25∙35 O(1;1)
В новой системе координат O2X2Y2 оси имеют уравнения: x2=0 y2=0
В системе координат O1X1Y1 оси имеют уравнения:
x1=15 y1=35
В системе координат OXY оси имеют уравнения:
15=25x-15y35=15x+25y => 2x-y=1x+2y=3
Уравнение фокальных осей:
y=-12x+32; y=2x-1

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу