Дана корреляционная таблица случайного вектора X,Y
X Y
-6 0 2
-1 0,1 0 0,2
0 0,05 P22
0
1 0 0,2 0,05
7 0,1 0 0,1
Найти P22, зависимы X и Y или нет, F1, -2, rxy, линию регрессии Y по X, составить уравнение линейной регрессии Y по X. Два последних графика изобразить на одной координатной плоскости.
Решение
Найдем вероятность P22
pij=0,1+0,2+0,05+P22+0,2+0,05+0,1+0,1=1
P22=1-0,8=0,2
Корреляционная таблица имеет вид
X Y
-6 0 2
-1 0,1 0 0,2
0 0,05 0,2 0
1 0 0,2 0,05
7 0,1 0 0,1
Для ответа на вопрос зависимы или нет случайные величины найдем частные распределения.
Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений Y
PY=-6=0,1+0,05+0,1=0,25
PY=0=0,2+0,2=0,4
PY=2=0,2+0,05+0,1=0,35
Напишем закон распределения Y
Y
-6 0 2
pj
0,25 0,4 0,35
Контроль: pj=0,25+0,4+0,35=1.
Сложив вероятности «по строкам», получим вероятности возможных значений X
PX=-1=0,1+0,2=0,3
PX=0=0,05+0,2=0,25
PX=1=0,2+0,05=0,25
PX=7=0,1+0,1=0,2
Закон распределения X
X
-1 0 1 7
pi
0,3 0,25 0,25 0,2
Контроль: pi=0,3+0,25+0,25+0,2=1.
X и Y зависимые случайные величины, так как
p11=PX=-1;Y=-6=0,1≠0,3∙0,25=0,075=PX=-1∙PY=-6=px1∙py1
Найдем значение функции распределения F1, -2
F1, -2=X<1Y<-2pij=p11+p21=0,1+0,05=0,15
Для нахождения коэффициенты корреляции rxy вычислим математические ожидания и средние квадратические отклонения случайных величин X и Y, корреляционный момент KX,Y.
Математическое ожидание X
MX=xipi=-1∙0,3+0∙0,25+1∙0,25+7∙0,2=-0,3+0+0,25+1,4=1,35
Дисперсия X
DX=MX2-MX2=xi2pi-MX2=-12∙0,3+02∙0,25+12∙0,25+72∙0,2-1,352=10,35-1,8225=8,5275
Среднее квадратическое отклонение
σx=DX=8,5275≈2,9202
Математическое ожидание Y
MY=yjpj=-6∙0,25+0∙0,4+2∙0,35=-1,5+0,7=-0,8
Дисперсия Y
DY=MY2-MY2=yj2pj-MY2=-62∙0,25+02∙0,4+22∙0,35--0,82=9+1,4-0,64=9,76
Среднее квадратическое отклонение
σy=DY=9,76≈3,1241
Корреляционный момент
KX,Y=MXY-MX∙MY=xiyjpij-MX∙MY=-1∙-6∙0,1+-1∙2∙0,2+0∙-6∙0,05+0∙0∙0,2+1∙0∙0,2+1∙2∙0,05+7∙-6∙0,1+7∙2∙0,1-1,35∙-0,8=0,6-0,4+0,1-4,2+1,4+1,08=-1,42
Коэффициент корреляции
rxy=KX,Yσx∙σy=-1,422,9202∙3,1241≈-0,1557
Уравнение прямой (линейной) регрессии Y по X имеет вид
Y-MY=rxyσyσxX-MX
Y--0,8=-0,1557∙3,12412,9202X-1,35
Уравнение линейной регрессии
Y=-0,1666X-0,5751
Для нахождения линии регрессии Y по X составим условные законы распределения YX=xi и найдем математические ожидания MYX=xi для каждого xi.
Вычислим условные вероятности
PY=-6X=-1=PX=-1,Y=-6PX=-1=0,10,3≈0,33
PY=0X=-1=PX=-1,Y=0PX=-1=00,3=0
PY=2X=-1=PX=-1,Y=2PX=-1=0,20,3≈0,67
Условный закон распределения YX=-1
yj
-6 0 2
PY=yjX=-1
0,33 0 0,67
Условное математическое ожидание
MYX=-1=-6∙0,33+0∙0+2∙0,67=-0,64
Вычислим условные вероятности
PY=-6X=0=PX=0,Y=-6PX=0=0,050,25=0,2
PY=0X=0=PX=0,Y=0PX=0=0,20,25=0,8
PY=2X=0=PX=0,Y=2PX=0=00,25=0
Условный закон распределения YX=0
yj
-6 0 2
PY=yjX=0
0,2 0,8 0
Условное математическое ожидание
MYX=0=-6∙0,2+0∙0,8+2∙0=-1,2
Вычислим условные вероятности
PY=-6X=1=PX=1,Y=-6PX=1=00,25=0
PY=0X=1=PX=1,Y=0PX=1=0,20,25=0,8
PY=2X=1=PX=1,Y=2PX=1=0,050,25=0,2
Условный закон распределения YX=1
yj
-6 0 2
PY=yjX=1
0 0,8 0,2
Условное математическое ожидание
MYX=1=-6∙0+0∙0,8+2∙0,2=0,4
Вычислим условные вероятности
PY=-6X=7=PX=7,Y=-6PX=7=0,10,2=0,5
PY=0X=7=PX=7,Y=0PX=7=00,2=0
PY=2X=7=PX=7,Y=2PX=7=0,10,2=0,5
Условный закон распределения YX=7
yj
-6 0 2
PY=yjX=7
0,5 0 0,5
Условное математическое ожидание
MYX=7=-6∙0,5+0∙0+2∙0,5=-2
Линия регрессии определяется величинами
MYX=-1=-0,64; MYX=0=-1,2; MYX=1=0,4; MYX=7=-2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
