Дан сигнал fx=1 x∈0 33 x∈3;4. Разложить его в тригонометрический ряд Фурье по синусам

1. Разложим сигнал в тригонометрический ряд Фурье по синусам.
Т.к. необходимо разложить по синусам, то продлеваем функцию на интервал (-4;0) нечетным образом, тогда ряд Фурье на интервале (-4;4) примет вид:
fx=n=1∞bnsinπn4x
При этом на интервале (0,4) сумма ряда будет соответствовать значению нашей функции. Коэффициенты ряда вычисляются по формуле:
bn=2404fxsinπn4xdx
Тогда:
bn=24031∙sinπn4xdx+343∙sinπn4xdx=-2cosπn4xπn03-6cosπn4xπn34=
=21-cos3πn4-6cosπn-cos3πn4πn=cosπn=-1n=
=6∙-1n+1+2+4cos3πn4πn
И разложение в ряд Фурье по синусам:
fx=1πn=1∞6∙-1n+1+2+4cos3πn4nsinπn4x
Восстановим сигнал по частичной сумме ряда Фурье, ограничившись, например, 8-ю гармониками:
fx≈1πn=186∙-1n+1+2+4cos3πn4nsinπn4x
Выпишем коэффициенты разложения:
n
1 2 3 4 5 6 7 8
bn
8-22π
-2π
8+223π
-2π
8+225π
-23π
8-227π
0
Тогда:
fx≈8-22πsinπx4-2πsin2πx4+8+223πsin3πx4-2πsin4πx4+8+225πsin5πx4-23πsin6πx4+8-227πsin7πx4
Амплитудно-частотный спектр в данном случае равен rn=bn
2 . Разложим сигнал в тригонометрический ряд Фурье по косинусам.
Продлеваем функцию на интервал (-4;0) четным образом, тогда ряд Фурье на интервале (-4;4) примет вид:
fx=a02+n=1∞ancosπn4x
Коэффициенты ряда вычисляются по формуле:
an=2404fxcosπn4xdx
Вычислим отдельно a0:
a0=24031dx+343dx=x203+3x234=3
Остальные коэффициенты:
an=24031∙cosπn4xdx+343∙cosπn4xdx=2sinπn4xπn03+6sinπn4xπn34=
=2sin3πn4+6sinπn-sin3πn4πn=sinπn=0=-4sin3πn4πn
И разложение в ряд Фурье по косинусам:
fx=32-4πn=1∞sin3πn4ncosπn4x
Восстановим сигнал, ограничившись 8-ю гармониками:
fx≈32-4πn=18sin3πn4ncosπn4x
Выпишем коэффициенты разложения:
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8
an
32
-22π
2π
-223π
0
225π
-23π
227π
0
Тогда:
fx≈32-22πcosπx4+2πcos2πx4-223πcos3πx4+225πcos5πx4-23πcos6πx4+227πcos7πx4
Амплитудно-частотный спектр в данном случае равен rn=an
3