Дан ряд наблюдений за случайной величиной Х1– Х32.
Провести статистическую обработку результатов этих наблюдений, а именно:
Составить таблицы интегрального и дифференциального распределений случайной величины Х.
Построить гистограмму распределения абсолютных частот случайной величины Х.
Построить интегральную кривую распределения относительных частот случайной величины Х.
Вычислить несмещённую оценку дисперсии и соответствующее ей среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
Вычислить среднее абсолютное отклонение и коэффициент вариации случайной величины Х.
Вычислить моду и медиану статистического распределения случайной величины Х.
Определить доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
Результаты измерений случайной величины xi приведены в таблице
№ п.п
xi
№ п.п
xi
№ п.п
xi
№ п.п
xi
1 11,31 9 21,19 17 11,54 25 14,01
2 13,36 10 14,04 18 16,85 26 14,9
3 10,13 11 11,84 19 9,52 27 9,93
4 1,02 12 23,34 20 3,79 28 21,28
5 12 13 15,64 21 23,86 29 3,33
6 28,1 14 1,34 22 12,1 30 11,81
7 21,55 15 23,09 23 11,16 31 11,31
8 11,68 16 16,56 24 18,55 32 13,36
Решение
Составить таблицы интегрального и дифференциального распределений случайной величины Х.
n=32 – объем выборки.
xmin=1,02 - наименьшее значение.
xmax=28,1 - наибольшее значение.
Ширина данного распределения
L=xmax-xmin=28,1-1,02=27,08
Число интервалов
k=5∙lgn=5∙lg32≈7,53
Примем за число интервалов k=7.
Ширина интервалов
h=∆xi=Lk=27,087≈3,87
Примем за ширину интервала h=4,5, а за начало первого интервала 0.
Составим таблицу дифференциального распределения абсолютной mi и относительной pi=min величины X.
Характеристики Интервалы
0 - 4,5 4,5 - 9 9 - 13,5 13,5 - 18 18 - 22,5 22,5 - 27 27 - 31,5
mi
4 0 14 6 4 3 1
pi
0,125 0 0,4375 0,1875 0,125 0,09375 0,03125
mi – число опадания величины X в заданный интервал (подсчитаем число случаев попадания значений величины X в данный интервал, если значения попаданию на границу интервала эту сумму делим пополам: ни одно значение не попало на границу интервалов).
Составим таблицу интегрального распределения абсолютной miX<xi и относительной piX<xi наколенных частот величины X.
Характеристики Правая граница интервалов
4,5 9 13,5 18 22,5 27 31,5
miX<xi
4 4 18 24 28 31 32
piX<xi
0,125 0,125 0,5625 0,75 0,875 0,96875 1
Построить гистограмму распределения абсолютных частот случайной величины Х.
Построить интегральную кривую распределения относительных частот случайной величины Х.
Вычислить несмещённую оценку дисперсии и соответствующее ей среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
Вычислим среднее арифметическое случайной величины X
x=1ni=1nxi=13211,31+13,36+10,13+…+11,81+11,31+13,36=443,4932≈13,86
Несмещенная оценка дисперсии
Dx=1n-1i=1nxi2-nn-1∙x2=13111,312+13,362+10,132+…+11,812+11,312+13,362-3231∙13,862=7462,514131-3231∙192,0996≈42,43
Среднее квадратическое отклонение
sx=Dx=42,43≈6,51
Вычислить среднее абсолютное отклонение и коэффициент вариации случайной величины Х.
Среднее абсолютное отклонение
dx*=1ni=1nxi-x=13211,31-13,86+13,36-13,86+…+11,31-13,86+13,36-13,86=157,8732≈4,93
Коэффициент вариации
Cv*=sxx=6,5113,86≈0,47
Вычислить моду и медиану статистического распределения случайной величины Х.
Мода
Mo*=xi+mi-mi-12mi-mi-1+mi+1∙∆xi=9+14-02∙14-0+6∙4,5≈11,86
9 – 13,5 – модальный интервал, то есть интервал, который имеет наибольшую частоту.
∆xi=h=4,5 – ширина интервала.
xi=9 – начало модального интервала.
mi= 14 - частота модального интервала.
mi-1=0 - частота интервала, предшествующего модальному.
mi+1=6 - частота интервала, следующего за модальным.
Медиана
Me*=xi+n2-mX<ximi∙∆xi=9+322-414∙4,5≈12,86
9 – 13,5 – медианный интервал, то есть интервал, которому соответствует первая из накопленных частот, равная половине общего количества значений или больше (в данном случае 16).
∆xi=h=4,5 – ширина интервала.
xi=9 – начало медианного интервала.
mi=14 – частота медианного интервала.
mX<xi=4 – накопленная частота до медианного интервала.
Определить доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
Определение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины X, роводим в предположении нормального ее распределенеия
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
