Дан степенной ряд. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала

Находим интервал сходимости по признаку Даламбера:
limn→+∞un+1(x)un(x)=limn→+∞(x-4)n+1n+1+2(x-4)nn+2=limn→+∞(x-4)n+1*n+2n+3*(x-4)n=
=limn→+∞(x-4)n+2n+3=x-4limn→+∞n+2n+3=x-4limn→+∞n+2n+3=
=x-4limn→+∞1+2n1+3n=x-411=x-4
Ряд сходится при x-4<1
-1<x-4<1
-1+4<x-4+4<1+4
3<x<5 – интервал сходимости степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) При x=3 →n=1∞(3-4)nn+2=n=1∞(-1)nn+2
Используем признак Лейбница:
Ряд является знакочередующимся;
limn→+∞an=limn→+∞1n+2=0 – члены ряда убывают по модулю;
Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:
1n+4<1n+2 (an+1<an), значит, убывание монотонно.
Таким образом ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем его на абсолютную/условную сходимость:
n=1∞an=n=1∞1n+2
Используем интегральный признак:
1+∞dxx+2=(*)
Подынтегральная функция непрерывна на [1;+∞).
*=121+∞x+2-12dx+2=12limb→∞((x+2)2b1=12limb→∞((b+2)2→+∞-
-2)=+∞
Таким образом, ряд n=1∞an, расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Вывод: ряд n=1∞(-1)nn+2 сходится условно.
2) При x=5 →n=1∞(5-4)nn+2=1n+2 – расходится (по доказанному).