Численное решение дифференциальных уравнений

Численное решение дифференциальных уравнений Общее задание Решить заданное дифференциальное уравнение: Решить уравнение аналитически Решить уравнение численно с помощью разложения в ряд Тейлора Решить уравнение численно с помощью метода Эйлера Решить уравнение численно с помощью модифицированного метода Эйлера Решить уравнение численно с помощью метода Рунге-Куттты Построить графики и аналитически оценить погрешности каждого метода Индивидуальное задание вариант уравнение Начальные условия 11 Теория Рассмотрим дифференциальное уравнение с начальным условием 𝑦(𝑎) = 𝑦0. Нужно найти решение этого уравнения 𝑦(𝑥) на отрезке [𝑎; 𝑏]. Приближенные методы решения дифференциального уравнения состоят в последовательном вычислении приближенных значений функции 𝑦(𝑥) в точках, полученных дроблением отрезка [𝑎; 𝑏] на 𝑛 равных частей. В процессе вычислений используются следующие формулы: ℎ = (𝑏 − 𝑎)/𝑛 – длина промежутка дробления; 𝑥0=𝑎, 𝑥1=𝑥0+ℎ, 𝑥2=𝑥1+ℎ, …, 𝑥𝑛=𝑥𝑛−1+ℎ=𝑏 – значения аргументов, для которых вычисляется значение решения. В методе Эйлера приближенные значения 𝑦(𝑥) в точках 𝑥𝑖 вычисляются по формулам: 𝑦1 = 𝑦0 + ℎ ∙ f (𝑥0, 𝑦0) , 𝑦2 = 𝑦1 + ℎ ∙ f (𝑥1, 𝑦1), 𝑦3 = 𝑦2 + ℎ ∙ f (𝑥2, 𝑦2), … 𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + ℎ ∙ f (𝑥𝑛−1, 𝑦𝑛−1) В методе Эйлера-Коши приближенные значения 𝑦(𝑥) в точках 𝑥𝑖 вычисляются по формулам: , где , ; , где , ; , где , ;… , где , . В методе Рунге-Кутты приближенные значения 𝑦(𝑥) в точках 𝑥𝑖 вычисляются по формулам: , где , ; ; ; , где , ; ; . Формула для оценки погрешности аналитического решения ОДУ методами Эйлера и Рунге-Кутты имеет следующий вид: где p – порядок метода. Для метода Эйлера p=1, для модифицированного метода Эйлера p=2, для метода Рунге-Кутты p=4. При этом в каждой точке хi по формуле, соответствующей методу, производится расчет yi с шагом h (yi(h)) и с шагом h/2 (yi(h/2)). Расчет по приведенной формуле называется методом двойного просчета или правилом Рунге. Выполнение задания Для рассматриваемого дифференциального уравнения с начальными условиями имеем 𝑥0 = а= 0; 𝑦0 = 1; далее положим : b=1 и . Длина промежутка дробления . Решаем аналитически: . Заменяем : . Разделяем переменные и проинтегрируем полученное уравнение: ; ; , откуда , , – общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения. Воспользуемся начальным условием , чтобы найти частное