Частица массы m находится в потенциальной яме U (x) = 0 x&lt

Если частица находится внутри ямы, то её кинетическая энергия Т1 меньше глубины ямы U0, энергия частицы
Е1 = Т1 + U1 = Т1 U0 < 0,
и частица не может покинуть яму (находится в связанном состоянии). Она двигается в ней с кинетической энергией Т1, отражаясь от стенок. Если частица находится на дне ямы, то её кинетическая энергия Т2 = 0 и Е2 = U0 < 0 (частица лежит на дне ямы). Это положение частицы наиболее устойчиво.
В квантовой механике энергия частицы , находящейся в связанном состоянии, может принимать лишь определённые дискретные значения, т.е. существуют дискретные уровни энергии. При этом самый низший (основной) уровень всегда лежит выше дна ямы. По порядку величины расстояние между уровнями частицы массы m в глубокой яме шириной L даётся выражением
.
Рассмотрим частицу, находящуюся в области потенциальной прямоугольной ямы конечной глубины . Такая модель качественно описывает движение заряженной частицы, например, электрона, вблизи атома и применяется в атомной физике и физике твердого тела.
Рассмотрим сначала случай , т.е. будем считать, что частица находится в яме. Уравнение Шрёдингера в областях I и III ( вне потенциальной ямы) записывается в виде
.
Вводя обозначение
,
получаем
.
Решения этого уравнения имеют вид
Для того, чтобы волновая функция была ограничена, нужно потребовать, чтобы и .
В области II , т.е. внутри потенциальной ямы, уравнение Шрёдингера
имеет осциллирующее решение
,
где   .
Таким образом, волновые функция частицы для данной задачи имеют вид
Сшивая волновые функции и их производные в точках и , получаем два соотношения
которые легко привести к виду
Исключая из этих двух соотношений , приходим к выражению
которое и определяет вид энергетического спектра частицы в яме